Tingnan ang wikitext ng Alhebra

{{for|mas mahinay na pambungad sa alhebra|Balangkas ng alhebra}}

[[File:Quadratic formula.svg|thumb|Ipinahahayag ng [[kwadratikong pormula]] ang solusyon ng ekwasyong {{math|1=''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' = 0}}, kung saan {{mvar|a}} hindi ay sero, ayon sa kaniyang mga [[koespisyente]] {{math|''a'', ''b''}} at {{mvar|c}}.|249x249px]]

Ang '''alhebra''' o '''panandaan'''<ref>{{Maugnayin|panandaan|72}}</ref> (mula sa {{lang-es|álgebra}}, at ito mula sa {{lang-ar|الجبر|al-jabr|reunyon, pagsasauli}}) ay isang sangay ng [[matematika]] na pag-aaral ng mga batas ng mga [[Operasyon (matematika)|operasyong matematika]], ugnayan (relation), at paglikha ng mga konsepto na nagmumula sa mga ito gaya ng mga termino (term), [[polinomial]], [[ekwasyon]], at [[strakturang alhebraiko]]. Ang alhebra ay gumagamit ng mga [[baryable]] na kadalasan kinakatawan ng [[sulat Latin]].

Inaatupag ng [[elementaryong alhebra]] ang pagpapatakbo ng itong mga baryable parang mga [[bilang]] at kaya binubuhay ang lahat ng matematika. Ang [[alhebrang basal]] ay pangalan na binibigyan, kadalasan sa [[edukasyon]], sa pag-aaral ng mga istrukturang alhebraiko, halimbawa ang mga [[Grupo (matematika)|grupo]], [[Singsing (matematika)|singsing]], at [[Kampo (matematika)|kampo]]. Ang [[alhebrang linyar]], na inaatupag ang mga [[linyar na ekwasyon]] at [[linyar na mapa]], ay ginagamit para sa mga modernong tanghal ng [[heometriya]], at may maraming magagagawang aplikasyon (halimbawa sa [[pagtataya ng panahon]]). Ang maraming sangay ng matematika ay kinibibilangan ng alhebra. Sa ilang mga kaniyang pangalan may "alhebra" (halimbawa [[komutatibong alhebra]]), at sa ilang mga wala (halimbawa [[teorya ni Galois]]).

Ginagamit ang salitang ''alhebra'', hindi lang para sa pangalan ng isang sangay ng matematika at ilang mga subsangay, kundi pati para sa ilang mga uri ng istrukturang alhebraiko, halimbawa isang [[alhebra sa tapat ng isang kampo]] ({{lang-en|algebra over a field}}), kadalasang tinatawag na isang ''alhebra''. Minsan na ginagamit ang parehong prase para sa isang subsangay at kaniyang mga pangunahing istrukturang alhebraiko, halimbawa [[alhebrang Boolean]] at isang [[alhebrang Boolean (istruktura)|alhebrang Boolean]]. Ang [[matematiko]] na dalubhasa sa alhebra ay tinatawag na ''alhebraista''.

== Etimolohiya ==
[[File:Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī.png|thumb|upright=0.8|Ang salitang ''alhebra'' ay nagmumula sa pamagat ng isang aklat ni [[Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī]].<ref>Esposito, John L. (2000). ''The Oxford History of Islam''. Oxford University Press. p. 188. {{ISBN|978-0-19-988041-6}}.</ref>]]

Nagmumula ang salitang ''alhebra'' sa {{lang-ar|الجبر|al-jabr|reunyon, pagsasauli}}, at ito sa isang aklat ({{lang-ar|الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة|al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah}}) ni [[Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī|al-Khwarizmi]], [[mga Persa|Persang]] [[astronomo]] at [[matematiko]] na ang pangalan ay nabubuhay ngayong araw sa salitang [[algoritmo]]. Sa kaniyang gawa, ang terminong ''al-jabr'' ay tinukoy sa [[Operasyon (matematika)|operasyon]] ng paglipat ng isang termino mula sa isang tabi ng isang ekwasyon hanggang sa iba. Kaya tinukoy ang "balanse" ({{lang-ar|المقابلة|al-muqābala}}) sa [[pagdaragdag]] ng katumbas na mga termino sa bawa't isang tabi. Ang itong prase ay pinaikli sa ''algeber'' o ''algebra'' sa [[Latin]], at sa wakas ang salitang ''algebra'' ay pumasok sa [[wikang Ingles]] habang ika-15 na siglo, mula sa [[wikang Kastila|Kastila]], [[wikang Italyano|Italyano]], o [[Medyebal na Latin]]. Noong una tinukoy ang ''alhebra'' sa pagkukumpuni ng bali ang buto. Ang matematikong kahulugan ay inirecord muna sa Ingles noong ika-16 na siglo.

== Alhebra bilang sangay ng matematika ==
Nagsimula ang alhebra sa mga komputasyon katulad sa mga iyon ng [[aritmetika]], na may mga [[titik]] imbes na mga [[bilang]]. Ito ay inatim ang pagpapatunay ng mga propyedad na tunay kahit ano pa man ang mga bilang na kinabibilangan. Halimbawa, sa [[kwadratikong ekwasyon]]

:<math>ax^2+bx+c=0,</math>

puwedeng <math>a, b, c</math> anumang mga [[tunay na bilang]] (kundi na <math>a</math> hindi puwedeng <math>0</math>, kasi ito ay nauuwi sa [[linyar na ekwasyon]]) at nagagamit ang [[kwadratikong pormula]] para mabilis at madali na mahanap ng mga halaga ng hindi alam na dami ng <math>x</math> na tumutupad ng ekwasyon (kumbaga, mahanap ang lahat ng mga solusyon ng ekwasyon).

Sa parehong makasaysayan at kasulukuyang edukasyon, ang pag-aaral ng alhebra ay nag-uumpisa sa paglutas ng mga ekwasyon, halimbawa kwadratikong ekwasyon sa itaas. Susunod na iniisip ang mas heneral na mga tanong, halimbawa "mayroon ba ang ekwasyon ng isang solusyon?", "ilang solusyon ay mayroon ang ekwasyon?", at "ano ang nakakapagsabi tungkol sa kilos ng mga solusyon?". Ng itong mga tanong ay napalawak ang alhebra sa bagay na di-numeriko, bilang mga [[permutasyon]], [[bektor]], [[Baskagan (matematika)|baskagan]], at [[polinomial]].

Bago ang ika-16 na siglo, hinati lang ang matematika sa dalawang subsangay: [[aritmetika]] at [[heometriya]]. Bagaman ilang mga paraan, na mas maagang nabuo, ngayon iniisip na alhebra, ang paglitaw ng alhebra, at agad ang [[kalkulus]], bilang mga subsangay ng matematika ay nangyari lang noong ika-16 o ika-17 na siglo. Mula sa ikalawang kalahati ng ika-19 na siglo, lumitaw ang maraming bagong mga sangay ng matematika. Ang karamihan ay gumamit ng parehong aritmetika at heometriya, at halos na lahat ay gumamit ng alhebra.

== Kasaysayan ==
{{main|Kasaysayan ng alhebra|Alhebrang basal#Kasaysayan|Kronolohiya ng alhebra}}

Ang paggamit ng salitang "alhebra" para mangahulugan ng sangay ng matematika ay malamang nangyayari muna noong ika-16 na siglo. Ang salita ay hango sa [[Wikang Arabe|Arabeng salitang]] ''al-jabr'' na lumilitaw sa pamagat ng sanaysay ng ''Al-Kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa-l-muqabala'' (''Ang Mabigat na Aklat Tungkol sa Kalkulasyon sa Pamamagitan ng Pagtapos at Balanse'') na sinulat ''circa'' 820 ni [[Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī|al-Khwarizmi]].

Ang ''al-jabr'' ay tinukoy ang paraan para baguhin ang mga [[ekwasyon]] sa [[pagbabawas]] ng mga katumbas na termino ({{lang-en|like terms}}) mula sa parehong tabi, o sa paglipat ng isang termino mula sa isang tabi hanggang sa iba, pagkatapos palitan ang senyas.

Kaya ang ''alhebra'' ay tinukoy muna ang pagpapatakbo ng mga ekwasyon at, sa pamamagitan ng pagpapatuloy, ang [[teorya ng mga ekwasyon]].

Sa matematika, nag-evolve ang kahulugan ng ''alhebra'' pagkatapos ng introduksyon ni [[François Viète]] ng mga simbolo (mga [[baryable]]) para mangahulugan ng mga bilang na di-alam o di-kumpleto na tinukoy, at kasunod na paggamit ng [[notasyong matematikal]] para sa mga ekwasyon at [[pormula]]. Kaya ang alhebra ay esensiyal na naging pag-aaral ng aksiyon ng mga [[Operasyon (matematika)|operasyon]] sa mga [[Ekspresiyon (matematika)|ekspresiyon]] na kinabibilangan ang mga baryable. Ito ay sinasaklaw, pero hindi nalilimitan, ang teorya ng mga ekwasyon.

Noong simula ng ika-20 na siglo, nag-evolve pa ang alhebra kapag pinag-isipan ang mga operasyon na gumagawa, hindi lang sa mga bilang, kundi pati sa mga elemento ng mga [[istrukturang matematikal]] tulad ng mga [[Grupo (matematika)|grupo]], [[Kampo (matematika)|kampo]], at [[espasyong bektor]]. Itong bagong alhebra ay tinawag na ''[[modernong alhebra]]'' ni [[Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] sa kaniyang eponimong sanaysay, ngunit pinalitan ang pangalan sa ''Alhebra'' ({{lang-de|(Moderne) Algebra}}) sa susunod na mga limbag.

=== Maagang kasaysayan ===
[[File:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|thumb|upright=0.8|Isang pahina mula sa sikat na aklat ni [[Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī|al-Khwarizmi]].]]

Ang mga ugat ng alhebra ay nababakas sa mga sinaunang [[Matematikang Babilonyo|Babilonyo]], na nabuo ang abanteng sistema ng aritmetika (sa pamamagitan ng nilang sistema [[seksahesimal]]) na inatim ang mga kalkulasyon sa isang [[algoritmo|algoritmikong]] paraan. Nabuo ni mga Babilonyo ang mga pormula para kalkulahin ang mga solusyon para sa mga problema na ngayong tipikal na nilulutas sa pamamagitan ng mga [[linyar na ekwasyon]], [[kwadratikong ekwasyon]], at [[di-tiyak na linyar na ekwasyon]] ({{lang-en|indeterminate linear equations}}). Sa kaibahan, ang karamihan ng mga [[Matematikang Sinaunang Ehipto|Ehipto]], at saka mga [[Matematikang Griyego|Griyego]] at [[Matematikang Tsino|Tsino]] noong unang milenyo BK, kalamitang lumutas ng ganyang mga ekwasyon sa pamamagitan ng mga heometrikong paraan, tulad ng mga paraan na inilarawan sa [[Papiro na Matematikal ni Rhind]], [[Mga Elemento ni Euclides|Mga ''Elemento'' ni Euclides]], at [[Siyam na Kabanata Tungkol sa Matematikal na Sining]] ({{lang-zh|t=九章算術|s=九章算术}}). Ang heometrikong trabaho ng mga Griyego, halimbawa sa mga ''Elemento'', ay naglaan ng balangkas para lumawak ng paggamit ng mga pormula sa higit ng paglutas ng partikular na mga problema, sa mas heneral na mga sistema ng pagsasabi at paglutas ng mga ekwasyon, ngunit hindi namulaklak ang ganyang pag-iisip (i.e. mula sa heneral na balangkas hanggang sa buong sistema) hanggang sa kaunlarad ng [[matematika sa medyebal na Islam]].

Noong panahon ni [[Platon]], sumailalim ang Griyegong matematika sa isang marahas na pagbabago. Lumikha ang mga Griyego ng [[Kasaysayan ng alhebra#Matematikang Griyego|heometrikang alhebra]] kung saan ang mga termino ay kinatawan ng mga tabi ng mga heometrikong bagay, kalimitang mga linya, na may kasama na mga titik. Si [[Diyopanto]] ({{lang-el|Διόφαντος}}, ika-3 na siglo AD) ay Griyegong matematiko ng [[Alehandriya]] at awtor ng isang serye ng aklat na tinatawag ''[[Arithmetica]]'' ({{lang-el|Ἀριθμητικά}}). Inaatupag ng itong mga teksto ang paglutas ng mga [[alhebraikong ekwasyon]], at nagdulot, sa [[teorya ng bilang]], sa modernong konsepto ng [[ekwasyong Diyopantino]].

Ang itong mga maagang tradisyon, na napag-usapan sa itaas, deretso na naimpluwensiya si al-Khwarizmi. Nagtatag ang kaniyang aklat ng alhebra bilang matematikal na disiplina, malaya sa [[heometriya]] at [[aritmetika]].

Ang mga [[Panahong Helenistiko|Helenistikong]] matematikong [[Heron ng Alehandriya]] at Diyopanto, at saka ang mga [[Matematika ng Indiya|matematiko ng Indiya]] tulad ni [[Brahmagupta]], itinuloy ang tradisyon ng Ehipto at Babilonya, ngunit ang ''Arithmetica'' ni Diyopanto at ang ''Brāhmasphuṭasiddhānta'' ni Brahmagupta ay nasa mas mataas na antas. Halimbawa, ang unang buong aritmetikong solusyon, na sinulat sa mga salita imbes na mga simbolo, at na isinama sero at mga negatibong solusyon, para sa mga kwadratikong ekwasyon, ay inilarawan ni Brahmagupta sa kaniyang aklat ng Brahmasphutasiddhanta, na nilikha noong 628 AD. Pagkatapos, ang Persang at Arabeng mga matematiko ay bumuti ng mga alhebraikong paraan sa mas mataas na grado ng sopistikasyon. Karamihang gumamit man si Diyopanto at mga Babilonyo ng mga paraan na ''ad hoc'' para lutasin ang mga ekwasyon, pundamental ang kontribusyon ni al-Khwarizmi. Nilutas niya ang mga [[linyar na ekwasyon|linyar]] at [[kwadratikong ekwasyon]] na hindi kinabibilangan ng alhebraikong simbolismo, mga [[negatibong bilang]], o [[sero]], kaya kailangang itangi ang maraming uri ng ekwasyon.

=== Modernong kasaysayan ===
[[File:Gerolamo Cardano (colour).jpg|thumb|upright=0.8|Ni [[Girolamo Cardano]], Italyanong matematiko, inilathala ang mga kalutasan para sa mga [[kubikong ekwasyon|kubiko]] at [[kwartikong ekwasyon]] noong 1545 sa kaniyang aklat ng ''[[Ars Magna (Gerolamo Cardano)|Ars magna]]''.]]

Ang trabaho ni [[François Viète]] para sa [[François Viète#Bagong alhebra|bagong alhebra]], noong pagtatapos ng ika-16 na siglo, ay mahalagang yugto patungong modernong alhebra. Noong 1637, inilathala ang ''[[La Géométrie]]'' ni [[René Descartes]], na inimbento ang [[analitikong heometriya]] at nagpasok ng modernong alhebraikong notasyon. Ang ibang mahalagang pangyayari, para sa karagdagang kaunlaran ng alhebra, ay heneral na alhebraikong kalutasan ng mga kubikong at kwartikong ekwasyon, na napaunlad noong gitnang ika-16 na siglo. Napaunlad ng ideya ng isang [[determinante]] ni [[Seki Takakazu]] ([[matematikang Hapones|matematikong Hapones]], kilala rin bilang Seki Kōwa) noong ika-17 na siglo, at independiyente na ni [[Gottfried Leibniz]] nang makalipas ang sampung taon, para sa paglutas ng mga sistema ng magkasasabay linyar na ekwasyon sa pamamagitan ng mga [[Baskagan (matematika)|baskagan]]. Trinabaho din ni [[Gabriel Cramer]] ang mga baskagan at determinante noong ika-18 na siglo. Sinuri ni [[Joseph Louis Lagrange]] ang mga [[permutasyon]] noong 1770 sa kaniyang papel "''Réflexions sur la résolution algébrique des équations''" ({{lang-tl|Mga repleksiyon tungkol sa alhebraikong paglutas ng mga ekwasyon}}) na napag-usapan ang mga solusyon ng mga alhebraikong ekwasyon at nagpasok ng mga [[Resolbente (teorya ni Galois)|resolbente ni Lagrange]] ({{lang-en|Lagrange resolvents}}). Si [[Paolo Ruffini]] ay unang tao na bumuti ng teorya ng mga [[grupo pampermutasyon]], at bilang kaniyang mga nauna sa kanila, gumawa ito sa konteksto ng paglutas ng mga alhebraikong ekwasyon.

Noong ika-19 na siglo nabuo ang [[alhebrang basal]], na batay sa interes sa paglutas ng mga ekwasyon. Pinagtuunan muna ang ngayong tinatawag [[teorya ni Galois]], at ang mga isyu ng mga [[nakakabuong bilang]] ({{lang-en|constructible number}}). Si [[George Peacock]] ay tagapagtatag ng pag-iisip sa pamamagitan ng mga [[aksioma]] sa aritmetika at alhebra. Nadiskubre ni [[Augustus De Morgan]] ang [[alhebrang relasyon]] sa kaniyang ''Syllabus of a Proposed System of Logic'' ({{lang-tl|Temaryo ng Isang Sistema na Ipinapanukala ng Lohika}}). Nabuo ni [[Josiah Willard Gibbs]] ang isang alhebra ng mga [[bektor]] sa espasyo na may tatlong dimensiyon, at nabuo ni [[Arthur Cayley]] ang isang alhebra ng mga baskahan (ito ay alhebrang di-komutatibo, {{lang-en|noncommutative algebra}}).

== Mga sangay ng matematika na may salitang alhebra sa pangalan ==
* [[Elementaryong alhebra]]
* [[Alhebrang basal]]
* [[Linear algebra]]
* [[Unibersal na alhebra]]
* [[Teorya ng alhebraikong bilang]]
* [[Alhebraikong heometriya]]
* [[Alhebrang kombinatorika]]

== Elementaryong alhebra ==
{{main|Elementaryong alhebra}}

[[File:algebraic equation notation.svg|thumb|right|Notasyong alehebraikong ekspresiyon:<br />&nbsp; 1 – lakas ([[Pagpapalakas (matematika)|eksponente]])<br />&nbsp; 2 – [[koepisyente]]<br />&nbsp; 3 – termino<br />&nbsp; 4 – [[operando]]<br />&nbsp; 5 – [[konstante]]ng termino<br />&nbsp; ''x'' ''y'' ''c'' – mga baryable/konstante]]

Ang elementaryong alhebra ay pinakabasal na porma na alhebra. Itinuturo sa mga [[mag-aaral]] na walang kaalaman ng [[matematika]], higit pang mga batayan na simulain ng [[aritmetika]]. Sa aritmetika, nangyayari lamang ang mga bilang at mga kanilang aritmetikal na operasyon (tulad ng +, −, ×, ÷). Sa alhebra, ang mga bilang ay madalas na kinakatawan ng mga [[Karakter (simbolo)|simbolo]] na tinatawag na mga [[baryable]] (tulad ng ''a'', ''n'', ''x'', ''y'' o ''z''). Kapaki-pakinabang ito dahil:

* Inaatim ang heneral na pormulasyon ng mga aritmetikal na batas (tulad ng [[Komutatibong propyedad|''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'']] para sa lahat ng ''a'' at ''b'') at kaya nagiging unang yugto patungo sa sistematiko na eksplorasyon ng mga propyedad ng [[Tunay na bilang|sistemang mga tunay na bilang]].
* Inaatim ang pagtukoy sa mga "hindi alam" na bilang, pormulasyon ng mga [[ekwasyon]] at pag-aaral ng mga paraan para lutasin ang mga ito. (Halimbawa, "Hanapin ang bilang ''x'' upang 3''x'' + 1 = 10" o mas heneral na "Hanapin ang isang bilang ''x'' upang ''ax'' + ''b'' = ''c''". Ang itong yugto ay nagdudulot sa hinuha na nalulutas ito, hindi dahil sa mga bilang mismo, kundi dahil sa mga operasyon na kinabibilangan.)
* Inaatim ang pormulasyon ng [[Punsiyon (matematika)|punsiyonal]] na mga kaugnayan. (Halimbawa, "Kung ibinebenta mo ang ''x'' na tiket, [[Tubo (ekonomika)|tubo]] mo ay 3''x'' - 500 na [[Piso ng Pilipinas|piso]], o ''f''(''x'') = 3''x'' - 500, kung saan ''f'' ay punsiyon, at ''x'' ay bilang na nagagamit ng punsiyon".)

=== Mga polinomial ===
{{main|Polinomial}}

[[File:Polynomialdeg3.svg|Ang [[Grap ng punsiyon|grap]] ng isang polinomial na may [[Grado ng isang polinomial|grado]] 3 (i.e. isang [[kubiko na punsiyon]]).|thumb|upright=0.8]]

Ang polinomial ay isang [[Ekspresiyon (matematika)|ekspresyion]] na ay [[suma]] ng isang dami, na may hangganan, ng mga [[panagdag|termino]]. Ang bawa't isang termino ay kinabibilangan ng [[bunga]] ng isang konstante at isang dami, na may hangganan, ng mga baryable na inaangat sa mga lakas na [[buumbilang]]. Halimbawa, ''x''<sup>2</sup> + 2''x'' − 3 ay polinomial na may nag-iisang baryable ''x''. Ang isang polinomial na ekspresiyon ay ekspresiyon na naisusulat ulit bilang polinomial, sa pamamagitan ng komutatibidad, asosyatibidad, at distributibidad ng pagdaragdag at pagpaparami. Halimbawa, (''x'' − 1)(''x'' + 3) ay polinomial na ekspresiyon na teknikal na hindi ay isang polinomial. (Pero ang bunga ng dalawang tabi ay nauuwi sa wastong polinomial nga.) Ang polinomial na punsiyon ay punsiyon na ipinapaliwanag ng isang polinomial, o katumbas na, ng isang polinomial na ekspresiyon. Ipinapaliwanag ng dalawang halimbawa sa itaas ang mismong polinomial na punsiyon.

=== Edukasyon ===
{{main|Pagtuturo ng matematika}}

Iminumungkahi na dapat ituro ang elementaryong alhebra sa mga [[mag-aaral]] na 11 anyos pa<ref>{{Cite web |title=Hull's Algebra |work=[[The New York Times]] |date=July 16, 1904 |url=https://timesmachine.nytimes.com/timesmachine/1904/07/16/101345282.pdf |access-date=2012-09-21 |archive-date=2021-02-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210221075950/https://timesmachine.nytimes.com/timesmachine/1904/07/16/101345282.pdf |url-status=live |lang=en }}</ref>, ngunit noong mga nakaraang taon mas karaniwan ang mga aralin (sa mga [[Estados Unidos|Amerikanong]] [[pampublikong paaralan]]) noong ikawalong baitang (≈ 13 taon ±).<ref>{{Cite web |last=Quaid |first=Libby |title=Kids misplaced in algebra |publisher=[[Associated Press]] |date=2008-09-22 |url=https://www.usatoday.com/news/nation/2008-09-22-357650952_x.htm |format=Report |access-date=2012-09-23 |archive-date=2011-10-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20111027033958/http://www.usatoday.com/news/nation/2008-09-22-357650952_x.htm |url-status=live lang=en }}</ref> Sa mga [[paaralan]] laganap na nagsisimula ang pagtuturo ng alhebra sa mga [[mataas na paaralan]], sa ikasiyam na baitang. Gayunman, para sa ilang mga [[paaralang panggitna]] na ginagamit ang programang [[International Baccalaureate|Pre-IB]], ang alhebra ay minsan na itinuturo sa loob ng dalawang taon (mga ikapitong at ikawalong baitang).<ref>{{Cite web |title=Millennium Middle School Curriculum Guide |publisher=Millennium Middle School, Seminole County, Florida |date=2021–2022 |url=https://millennium.scps.k12.fl.us/core/fileparse.php/11215/urlt/MMS-Curriculum-Guide-2021-2022.pdf |access-date=2023-05-25 |page=12 (13 sa file) |lang=en |archive-date=2023-05-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230525231002/https://millennium.scps.k12.fl.us/core/fileparse.php/11215/urlt/MMS-Curriculum-Guide-2021-2022.pdf |url-status=dead }}</ref>

== Alhebrang basal ==
{{main|Alhebrang basal|Istrukturang alhebraiko}}

=== Mga grupo ===
{{main|Grupo (matematika)}}
{{also|Teorya ng grupo|Mga halimbawa ng mga grupo}}

=== Mga singsing at kampo ===
{{main|Singsing (matematika)|Kampo (matematika)}}

== Mga sanggunian ==
{{reflist}}

== Tingnan din ==
* [[Trigonometriya]]
* [[Kalkulo]]

{{Matematika}}

[[Kategorya:Alhebra]]

{{Stub|Matematika}}