Tingnan ang wikitext ng Koepisyente

Sa [[matematika]], ang isang '''koepisyente''' ay isang paktor ng [[Pagpaparami (matematika)|pagpaparami]] na kasangkot sa ilang [[panagdag]] ng isang [[polynomial]], [[serye (matematika)|serye]], o [[ekspresyon (matematika)|ekspresyon]]. Ito ay madalas na isang [[bilang]], pero puwedeng anumang ekspresyon (kabilang sa mga [[baryable]] tulad ng {{mvar|a}}, {{mvar|b}} at {{mvar|c}}).<ref>{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Coefficient |url=https://mathworld.wolfram.com/Coefficient.html |access-date=2020-08-15 |website=mathworld.wolfram.com |language=en}}</ref>{{better source|date=Enero 2023}} Kapag ang kombinasyon ng mga baryable at mga konstante ay hindi kinakailangan sa pagbuo ng ''produkto'', maaaring masabi ito bilang isang [[parametro]].

Halimbawa, ang polynomial na <math>2x^2-x+3</math> ay may mga koepisyenteng 2, −1, at 3, at ang mga lakas ng baryableng <math>x</math> sa polynomial na <math>ax^2+bx+c</math> ay may mga koepisyenteng parametrong <math>a</math>, <math>b</math>, at <math>c</math>.

Ang {{vanchor|Konstanteng koepisyente|text='''konstanteng koepisyente'''}} (o '''konstanteng termino''') ay koepisyenteng hindi ikinakabit sa mga baryable sa isang ekspresyon. Halimbawa, ang mga konstanteng koepisyente ng mga ekspresyon sa itaas ay bilang na 3 at parametrong ''c'', ayon sa pagkakabanggit. Ang koepisyenteng ikinakabit sa pinakamataas na [[Grado ng isang polinomial|grado]] ng isang baryable sa isang polynomial ay tinutukoy bilang '''nauunang koepisyente'''. Halimbawa, sa mga ekspresyon sa itaas, ang mga nauunang koepisyente ay 2 at ''a'', ayon sa pagkakabanggit.

Sa konteksto ng mga [[ekwasyong diperensiyal]], madalas na naisusulat ang isang [[ekwasyon]] bilang isang polynomial na kapantay sa [[sero]] sa di-alam na mga [[punsiyon (matematika)|punsiyon]] at kanilang mga [[deribatibo]]. Sa ganitong kaso, ang mga koepisyente ng ekwasyong diperensiyal ay mga koepisyente nitong polynomial, at ang mga ito sa pangkalahatan ay mga punsiyong di-konstante. Para hindi magulo, ang koepisyenteng hindi ikinakabit sa mga punsiyong di-alam (''unknown functions'') at sa kanilang mga deribatibo ay karaniwang tinatawag na ''konstanteng termino'' (''constant term'') imbes na konstanteng koepisyente. Sa partikular, kung sa isang [[ekwasyong linyar na diperensyal]] na may isang konstanteng koepisyente, ang konstanteng termino, sa pangkalahatan, ay hindi dapat isang konstanteng punsiyon.

== Terminolohiya at katuturan ==
Sa [[matematika]], ang isang '''koepisyente''' ay isang paktor na pang[[Pagpaparami (matematika)|pagpaparami]] nasa ilang [[panagdag]] ng isang [[polynomial]], [[serye (matematika)|serye]], o [[ekspresyon (matematika)|ekspresyon]]. Halimbawa, sa polynomial na

<math display="block">7x^2-3xy+1.5+y,</math>

na may mga baryable <math>x</math> at <math>y</math>, ang unang dalawang termino ay may mga koepisyenteng 7 at -3. Ang pangatlong terminong 1.5 ay konstanteng koepisyente. Sa huling termino, ang koepisyente ay 1 at hindi eksplisitong sinusulat.

Sa mararaming senaryo, ang mga koepisyente ay mga bilang (ganito ang kada termino sa dating halimbawa), ngunit puwedeng mga parametro ng problema — o amunang ekspresyon sa itong mga parametro. Sa tulad ng kaso, kailangan isang paglilinaw sa pagitan ng mga [[karakter|simbolo]]ng kinatawan ang mga baryable at mga simbolong kinakatawan ang mga parametro. Pagkatapos ni [[René Descartes]], madalas na kinakatawan ng {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, ... ang baryable, at ng {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, ... ang mga parametro, pero hindi palaging ganito ang sitwasyon. Halimbawa, kung ipinalalagay ang {{mvar|y}} bilang isang parametro sa ekspresyon sa itaas, tapos ang koepisyente ng {{mvar|x}} ay {{math|−3''y''}}, at ang konstanteng koepisyente (na may paggalang sa {{mvar|x}}) ay {{math|1.5 + ''y''}}.

Sa ekspresyong
<math display="block">ax^2+bx+c,</math>
karaniwang ipinalalagay na ang {{mvar|x}} ay tanging baryable, at na ang {{mvar|a}}, {{mvar|b}} at {{mvar|c}} ay mga parametro, kaya ang konstanteng koepisyente ay {{mvar|c}} sa itong kaso.

{{anchor|Nauunang koepisyente}}Ang anumang [[polynomial]] sa nag-iisang baryableng {{mvar|x}} ay naisusulat bilang
<math display="block">a_k x^k + \dotsb + a_1 x^1 + a_0</math>
para sa ilang [[di-negatibong buumbilang]] na <math>k</math>, kung saan ang <math>a_k, \dotsc, a_1, a_0</math> ay mga koepisyente. Sumasaklaw ito ng posibilidad na ang mga ilang termino ay may koepisyenteng 0, halimbawa, sa <math>x^3 - 2x + 1</math>, ang koepisyente ng <math>x^2</math> ay 0, at hindi eksplisito na lumilitaw ang terminong <math>0x^2</math>. Para sa pinakamalaking <math>i</math> kung saan <math>a_i \ne 0</math> (kung anuman), ang <math>a_i</math> ay tinatawag na '''nauunang koepisyente''' ng polynomial. Halimbawa, ang nauunang koepisyente ng polynomial na
<math display="block">4x^5 + x^3 + 2x^2</math>
ay 4. Ito ay maaaring lahatin para sumaklaw ng mga multibaryatong polynomial na may paggalang sa isang [[monomial na ayos]], tingnan ang {{section link|Batayan ni Gröbner|Nauunang termino, koepisyente, at monomial}}.

== Alhebrang linyar ==
Sa [[alhebrang linyar]], ang isang [[sistema ng ekwasyong linyar]] ay karaniwang kinakatawan ng niyang [[baskagang koepisyente]]. Halimbawa, sa sistema ng ekwasyong linyar na
<math display="block">
\begin{cases} 
2x + 3y = 0 \\
5x - 4y = 0
\end{cases},</math>
ang kaukulang baskagang koepisyente ay <math>\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
5 & -4
\end{pmatrix}.
</math> Ginagamit ang mga baskagang koepisyente sa mga algoritmo tulad ng [[eliminasyon ni Gauss]] at [[kautusan ni Cramer]] para humanap ng mga kalutasan sa sistema.

Ang '''nauunang entrada''' (minsan ''nauunang koepisyente''{{citation needed}}) ng isang hilera sa isang [[baskagan (matematika)|baskagan]] ay unang di-serong entrada sa hilerang iyon. Kaya, halimbawa, sa baskagang
<math display="block">
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 6\\
0 & 2 & 9 & 4\\
0 & 0 & 0 & 4\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
</math>
ang nauunang entrada ng unang hilera ay 1, iyon ng pangalawa ay 2, iyon ng pangatlo ay 4, yamang ang huling hilera hindi ay may isang nauunang entrada.

Ang mga koepisyente ay madalas na tinatanaw bilang mga [[konstante]] sa [[elementaryong alhebra]], ngunit maaaring tanawin din bilang mga baryable habang lumalaki ang konteksto. Halimbawa, ang mga [[koordinado]]ng <math>(x_1, x_2, \dotsc, x_n)</math> ng isang [[Euclidyanong bektor|bektor]] na <math>v</math> sa isang [[espasyong bektor]] na may [[batayan (alhebrang linyar)|batayan]]g <math>\lbrace e_1, e_2, \dotsc, e_n \rbrace </math> ay mga koepisyente ng mga bayatang bektor sa ekspresyong <math display="block"> v = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \dotsb + x_n e_n .</math>

== Tingnan din ==
* [[Grado ng isang polinomial]]
* [[Koepisyente ng korelasyon]]
* [[Koepisyenteng binomial]]
* [[Monikong polynomial]]

== Sanggunian ==
{{reflist}}

[[Kategorya:Mga polynomial]]
[[Kategorya:Alhebra]]
[[Kategorya:Bilang]]
[[Kategorya:Mga baryable (matematika)]]