Tingnan ang wikitext ng Pagpapalakas (matematika)

{{Mergefrom|Eksponente}}
{{For|kantidad ng pisika|Lakas}}{{Aritmetika operasyon}}
Sa [[matematika]], ang '''pagpapalakas''' o '''pagpapaangat''' (Ingles: ''exponentiation'') ay isa sa mga operasyon sa aritmetika na isinusulat sa anyong <math>b^n</math>, kung saan ang <math>b</math> ay ang [[Base|báse]] nito at <math>n</math> ang [[Lakas (matematika)|lakas]] o eksponente (mula sa [[Wikang Kastila|Espanyol:]] ''exponente''). Binibigkas itong "''b pinalakas nang n (na) beses''" o "''b inangat nang n (na) beses''." Kung isang positibong [[buumbilang]] ang <math>n</math>, katumbas lang ito sa paulit-ulit na [[Pagpaparami (matematika)|pagpaparami]] sa báse nito, ang sagot sa <math>b^n</math> ay ang [[Produkto (matematika)|produkto]] ng pagpaparami sa <math>b</math> nang <math>n</math> (na) beses. 

{{Spaces|4}}<math>b^n = \underbrace {b \times \dots \times b} _{n \text { (na) beses}}</math> 
[[Talaksan:Expo02.svg|thumb|315x315px|Mga [[grap]] ng {{Math|1=y = b{{sup|x}}|size=100%}} sa iba't ibang mga báse.]]
Isinusulat kadalasan ang eksponente nang nakaangat (''superscript'') sa kanan ng báse. 

Kung pinalakas ang <math>b</math> nang isang beses, o sa ekspresyong matematikal, <math>b^1</math>, magreresulta ito sa sarili niya (<math>b^1 = b</math>). Kung pinarami naman ang dalawang <math>b</math> na itinaas sa lakas na <math>m</math> at <math>n</math>, magreresulta naman ito sa <math>b^{m + n}</math>. 

{{Spaces|4}}<math>b^m \times b^n = b^{m+n}</math> 

Para mapalawig ang katangiang ito sa mga negatibong buumbilang na lakas, ginagawang <math>1</math> ang sagot sa <math>b^0</math>. Samantala, <math>\frac {1}{b^n}</math> naman ang sagot sa <math>b^{-n}</math>, basta ba positibong buumbilang ang <math>n</math> at hindi [[0 (bilang)|sero]] ang <math>b</math>. Sa pananaw na ito, magkatumbas ang <math>b^{-1}</math> sa <math>\frac {1}{b}</math>, ang [[Kabaligtaran (matematika)|kabaligtaran]] (''reciprocal'') ng <math>b</math>. 

Maaaring palawigin ang kahulugan ng pagpapalakas para masáma ang kahit anong mga [[Tunay na bilang|tunay]] o [[Komplikadong bilang|komplikadong]] eksponente. Maaari ring mabigyang-kahulugan ang pagpapalakas na gumagamit ng buumbilang bilang eksponente (hal. <math>2^2</math>) gamit ng samu't saring mga istrakturang alhebraiko, tulad ng mga [[Baskagan (matematika)|baskagan]] (''matrix''). 

Madalas gamitin ang pagpapalakas sa iba't iba at samu't saring mga larangan, kabilang na ang [[ekonomika]], [[biyolohiya]], [[kimika]], [[pisika]], at [[agham pangkompyuter]]. Magagamit rin ang operasyong ito sa mga [[tubong tinubuan]] (''compound interest''), [[paglaki ng populasyon]], [[galawang kemikal]] (''chemical kinetics''), pag-aaral sa ugali ng mga [[alon]], at [[kriptograpiyang nakasusing pampubliko]] (''public-key cryptography'').

== Kasaysayan ==
Ang '''''lakas''''' ay isang literal na pagsalin sa salitang Ingles na '''''power''''', na isang maling pagsalin<ref name="Rotman">{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|date=2015|title=Advanced Modern Algebra, Part 1|url=http://www.ams.org/books/gsm/165/04|location=Providence, [[Rhode Island]], [[Amerika]]|publisher=American Mathematical Society|at=pa. 130, {{abbr|t.b.|talababa}} 4|isbn=978-1-4704-1554-9|edition=3|series=Graduate Studies in Mathematics|volume=165|trans-title=Mataas na Modernong Alhebra, Unang Bahagi|language=en}}{{Dead link|date=Mayo 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref> naman sa [[sinaunang Griyego]] na δύναμις (''dúnamis'', dito, "pagpapaangat")<ref name="Rotman" /> na ginamit ng [[Matematiko|matematikong]] [[Gresya|Griyego]] na si [[Euclid]] para sa pagparirami (''squaring'') sa isang linya, ayon na rin sa ginawa ni [[Hippocrates|Hippocrates ng Chios]].<ref>{{cite book|last=Ball|first=W. W. Rouse|date=1915|title=A Short Account of the History of Mathematics|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich|location=[[London]], [[Reyno Unido]]|publisher=Macmillan|page=[https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich/page/38 38]|edition=6|language=en|trans-title=Isang Maiksing Pagtatala sa Kasaysayan ng Matematika}}</ref> Natuklasan at napatunayan ni [[Archimedes]] ang batas ng pag-aangat, <math>10^a \cdot 10^b = 10^{a+b}</math>, na kailangan para mamanipula ang mga lakas ng 10. Noong ika-9 na siglo, ginamit ng matematikong [[Imperyong Persa|Persano]] na si [[Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī]] ang salitang مَال (''māl'', "pagmamay-ari", "pag-aari") para sa pagparirami, at كَعْبَة (''[[Kaaba|kaʿbah]]'', "kubo") para naman sa pagtitriplé (''cube''), kung saan ginamit ng sumunod na matematikong [[Islam]] sa notasyong matematikal ang mga titik na ''mīm'' (m) and ''kāf'' (k) bandang ika-15 siglo, tulad ng nakita sa mga gawa ni [[Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī]].

Ang salitang '''''eksponente''''' ay galing sa salitang Espanyol na ''exponente'', na galing naman sa Latin na salitang ''exponere'' ("ilagay", "ipuwesto"). Galing din ang salitang Ingles na ''exponent'' sa nagaganap na aspeto ng ''exponere'', ang ''exponentem'', na nangangahulugang "ilabas" o "tubuan."<ref>{{Cite web|url=https://www.etymonline.com/word/exponent|website=Etymonline.com|title=exponent|trans-title=eksponente|access-date=Nobyembre 21, 2020|language=en}}</ref>

Noong huling bahagi ng ika-16 na siglo, ginamit ni [[Jost Bürgi]] ang mga bilang Romano (I, II, III, atbp.) para sa mga eksponente. Sinulat naman ni Nicolas Chuquet ang isang anyo ng notasyong nagpapalakas noong ika-15 siglo, na ginamit nina Henricus Grammateus at Michael Stifel sa sumunod na siglo. Unang ipinakilala ni Stifel ang salitang ''exponent'' (''exponens'' ang ginamit niya rito) noong 1544 sa ''Arithmetica integra.<ref>{{cite book|last=Stifel|first=Michael|date=1544|title=Arithmetica integra|url=https://archive.org/details/bub_gb_fndPsRv08R0C/page/n491|location=[[Nuremberg]], [[Alemanya]]|publisher=Johannes Petreius|page=235{{abbr|v.|verso}}|language=la}} Sinusubukan ni Stifel na magkaroon ng madaling pagsulat sa mga termino ng panunurang heometrikal (''geometrical sequence''). Para magawa ito, gumawa siya ng isang komplikadong notasyon. Sa ''Liber III, Caput III: De Algorithmo numerorum Cossicorum'' (Aklat 3, Kabanata 3: Patungkol sa mga Algoritmo sa Alhebra), sa pahina 235 ''verso'', ipinakita niya ang unang walong termino ng isang panunurang heometrikal (gamit ang 1 bilang báse) at pagkatapos ay isinulat niya, "''Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam.''" (Gayunpaman, kita niyo naman kung paano ang bawat termino ng panunuran ang may eksponente (tulad ng 1ze ay 1, 1ʓ ay 2, atbp.), kaya pumapailalim ang bawat bilang sa eksponente ng denominasyon nito, na pumapailalim rin sa bilang at mahalaga sa pagpaparami at paghahati, na babanggitin ko sa ibaba.) [Paalala: Galing ang karamihan sa mga kakaibang simbolo ni Stifel mula kay Christoff Rudolff, na nanggalin naman sa ''Liber Abaci'' (1202) ni Leonardo Fibonacci, kung saan ginagamit ang mga ito bilang mga pampaiksing simbolo ng mga Latin na salitang ''res''/''radix'' (x), ''census''/''zensus''(''x''<sup>2</sup>), at ''cubus'' (''x''<sup>3</sup>).])</ref>''

Noong simula ng ika-17 siglo, ipinakilala ni [[René Descartes]] ang unang anyo ng modernong notasyon sa pagpapalakas. Ipinakilala niya ito sa kanyang tekstong ''[[La Géométrie]]'', partikular sa unang aklat nito.<ref>{{cite book|last=Descartes|first=René|author-link=René Descartes|date=1637|title=Discourse de la méthode [...]|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image|location=Leiden, [[Olanda]]|publisher=Jan Maire|page=299|chapter=''[[La Géométrie]]''|quote=''Et ''aa'', ou ''a''<sup>2</sup>, pour multiplier ''a'' par soy mesme; Et ''a''<sup>3</sup>, pour le multiplier encore une fois par ''a'', & ainsi a l'infini''|trans-title=Diskurso sa paraan [...]|language=fr}} (At ''aa'', o ''a''<sup>2</sup>, para maparami ang ''a'' gamit ang sarili niya, at  ''a<sup>3</sup>'', para naman maparami ito uli nang isa pa gamit ang sarili niya, at hanggang sa walang-hanggan.)</ref>

Ginagamit lang ng ilang mga matematiko (tulad ni [[Isaac Newton]]) ang mga eksponente para lamang sa lakas na higit sa dalawa. Mas pabor sila sa pagsulat sa mga pagdodoble bilang pauulit-ulit na pagpaparami, kaya naman isinusulat nila ang isang [[damikay]] (''polynomial'') bilang <math>ax + bxx + c^3 + d</math>.

Tinawag rin ang prosesong ito bilang '''imbolusyon''' (Ingles: ''involution''), ngunit bihira na lang itong gamitin.<ref>Ang pinaka-kamakailang naitalang paggamit ng salitang ito ayon sa kahulugang ito sa Ingles ay noong 1806, ayon sa Oxford English Dictionary. {{Cite OED|involution}}</ref> Iba ito sa [[Imbolusyon (matematika)|imbolusyon]] na ginagamit ngayon para sa mga [[bunin]] (''function'') na [[Kabaligtaran (matematika)|kabaligtaran]] ng sarili niya. 

Noong 1748, isinulat ni [[Leonhard Euler]]:<blockquote>''Primum ergo considerandæ sunt quantitates exponentiales, seu Potestates, quarum Exponens ipse est quantitas variabilis. Perspicuum enim est hujusmodi quantitates ad Functiones algebraicas referri non posse, cum in his Exponentes non nisi constantes locum habeant.<ref name="Euler_1748">{{cite book|author-first=Leonhard|author-last=Euler|author-link=Leonhard Euler|title=Introductio in analysin infinitorum|language=la|location=Lausanne, [[Suwisa]]|publisher=Marc-Michel Bousquet|date=1748|volume=I|pages=69, 98–99|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k33510/f93.image <!-- |quote-page=69 -->|trans-title=Panimula sa pagsusuring [[awanggan]]}}</ref>''

'''Salin:'''

Ikonsidera muna ang mga kantidad na pinapalakas, o [sa madaling salita] lakas,  kung saan [[nagbabago]] ang mga eksponente nila. Maliwanag na ang mga kantidad na ito ay hindi mga buning alhebraiko, dahil dapat [[Konstante|di-nagbabago]] ang mga eksponente nito.</blockquote>Sa panimulang ito ng mga [[buning nangingibabaw]] (''transcendental functions''), sinimulan ni Euler ang pundasyon para sa modernong panimula sa mga [[likas na logaritmo]]—bilang mga [[buning kabaligtaran]] para sa [[natural na buning nagpapalakas]] na <math>f(x) = e^x</math>.

== Terminolohiya ==
Sa [[Wikang Ingles|Ingles]], ang ekspresyong <math>b^2 = b \cdot b </math> ay tinatawag na ang "''square of b''" ("parirami ng ''b"'') o "''b squared''" ("pariraming ''b''") dahil ang sukat ng isang parisukat (''square'' sa Ingles) na may haba sa gilid na <math>b</math> ay <math>b^2</math>. Sa ganong ding pananaw, ang ekspresyong <math>b^3 = b \cdot b \cdot b </math> ay tinatawag na ang "''cube of b''" ("talurami ng ''b''") o "''b cubed''" ("taluraming ''b''"), dahil ang bulto (''volume'') ng isang kubo (''cube'' sa Ingles) na may haba sa gilid na <math>b</math> ay <math>b^3</math>.

Kapag isa itong [[Likas na bilang|positibong buumbilang]], tinutukoy ng eksponente kung ilang beses kailangang paramihin ang báse. Halimbawa, <math>3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243 </math>. Ang báse na 3 ay nagpakita nang 5 beses sa paulit-ulit na proseso ng pagpaparami, dahil 5 ang eksponente nito. Dito, ang bilang na 243 ang ''ikalimang lakas ng 3'', o ''3 pinalakas nang 5 beses''.

Madalas tinatanggal ang salitang "''pinalakas nang n (na) beses''," kahit maging ang "''lakas''," kaya binabása rin ang <math>3^5 </math> bilang "''tatlo sa ikalima''" o sa Ingles, "''3 to the 5th''."

== Mga sanggunian ==
{{reflist}}

{{Stub|Matematika}}

[[Kategorya:Elementaryong aritmetika]]