Tingnan ang wikitext ng Punto (heometriya)

{{Short description|Pundamental na bagay ng heometriya}}
{{More citations needed|date=Hulyo 2023}}
{{Pangkalahatang heometriya}}
Sa klasikong [[heometriyang Euclidean]], ang isang '''punto''' ay isang [[primitibong nosyon]] na iminomodelo ang isang eksaktong pook sa [[espasyong maka-Euclides]], at walang [[haba]], lapad, o kapal. Sa modernong [[matematika]], mas kadalasang tinutukoy ng isang punto ang isang [[elemento (matematika)|elemento]] ng ilang [[pangkat (matematika)|pangkat]] na tinatawag na isang [[espasyo (matematika)|espasyo]].

Ang terminong ''primitibong nosyon'' ay mangangahulugan na hindi naipapaliwanag ang isang punto sa mga tuntunin ng mga bagay na dating ipinaliwanag. Kumbaga, ang isang punto ay ipinapaliwanag lamang ng ilang mga propyedad, na tinatawag na mga [[aksiyoma]], na dapat matuguan, halimbawa, "''may eksaktong isang [[guhit (heometriya)|guhit]] na pinagdadaanan ang dalawang magkaibang punto''".

== Mga punto sa heometriyang Euclidean ==
[[Image:ACP 3.svg|thumb|Isang pinitong pangkat ng mga punto (sa pula) sa [[Plano (heometriya)|planong Euclidean]].]]
Ang mga punto, kung kailan iniisip sa balangkas ng [[heometriyang Euclidean]], ay isa sa mga pinakapundamental na bagay. Orihinal na ipinaliwanag ni [[Euclides]] ang punto bilang "ang walang anumang bahagi" (''Mga Elemento'' I:1, {{lang-grc|Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν}}).<ref>{{cite book |title=Mga Elemento |author=Euclides |url=https://www.cs.umb.edu/~eb/370/euclid/EuclidBook1.pdf |lang=grc, en}}</ref> Sa dalawang dimensiyonal na [[plano (heometriya)|plano]], ang isang punto ay kinakatawan ng isang [[pares na iniaayos]] na ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}) ng mga bilang, kung saan kombensiyonal na kinakatawan ng unang bilang ang [[planong pahalang]] at madalas na sinusulat na {{mvar|x}}, at kombensiyonal na kinakatawan ng pangalawang bilang ang [[planong patayo]] at madalas na sinusulat na {{mvar|y}}. Madaling nilalahat ang itong [[ideya]] sa [[tatlong dimensiyonal na espasyo]], kung saan ang isang punto ay kinakatawan ng isang tripleteng iniaayos kung saan kinakatawan ng karagdagang pangatlong bilang ({{mvar|z}}) ang lalim. Ang mga karagdagan mga paglalahat ay kinakatawan ng isang [[tupla]]ng iniaayos ng {{mvar|n}} mga terminong {{math|(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, … , ''a''<sub>''n''</sub>)}}, kung saan ang {{mvar|n}} ay [[dimensiyon]] ng espasyo kung saan natatagpuan ang punto.

Ang mararaming kayarian sa heometriyang Euclidean ay kinabibilangan ang isang [[impinito]]ng koleksiyon ng mga punto na natutugunan ang ilang mga aksiyoma. Ito ay karaniwang kinakatawan ng isang [[pangkat (matematika)|pangkat]] ng mga punto. Halimbawa, ang isang [[guhit]] ay isang impinitong pangkat ng mga punto na may pormang <math display="block"> L = \lbrace (a_1,a_2,...a_n)|a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \rbrace,</math> kung saan ang {{math|''c''<sub>1</sub>}} hanggang sa {{math|''c<sub>n</sub>''}} at {{mvar|d}} ay mga [[konstante]] at ang {{mvar|n}} ay dimensiyon ng espasyo. May tulad ng mga kayarian na ipinapaliwanag ang [[plano (heometriya)|plano]], [[linyang segmento]], at ibang mga konseptong kaukulan. Ang isang linyang segmentong kinabibilangan lang ng nag-iisang punto ay tinatawag na [[Dehenerasyon (matematika)|dehenerado]]ng linyang segmento.{{citation needed}}

Kasama na mga katuturan ng mga punto at kaukulang kayarian, ipinanukala ni Euclides ang isang ideyang klabe tungkol sa mga punto, na ang anumang dalawang punto ay maaaring ikonekta ng isa (at isa lang) na tuwid na guhit. Ito ay madaling kinukumpirma sa ilalim ng mga modernong pagpapatuloy ng heometriyang Euclidean, at sa kaniyang introduksiyon nilalang ang mga pangmatagalang kinahinatnan. Ginawa ng ganyang mga kinahinatnan posible halos ang lahat ng mga heometrikong konseptong alam sa panahon. Gayunman, ni kumpleto ni depinitibo ang panukala ng mga punto ni Euclides, at paminsan-minsan ipinalagay niya ang mga katotohanan tungkol sa mga punto na hindi diretsong resulta ng kaniyang mga aksiyoma, tulad ng pag-aayos ng mga punto sa guhit o pagiging ng mga espesipikong punto. Sa kabila nito, ang mga modernong pagpapalaki ng sistema ay nag-aalis ng nitong mga palagay.{{citation needed}}

== Dimensiyon ng isang punto ==
{{Unreferenced section|date=Hulyo 2023}}

May mararaming katuturang di-katumbas para sa [[dimensiyon]] sa matematika. Sa lahat ng mga karaniwang katuturan, walang dimensiyon ang isang punto.

=== Sa espasyong bektor ===
{{main|Dimensiyon (espasyong bektor)}}

Ang dimensiyon ng isang [[espasyong bektor]] ay maximum na laki ng isang [[subpangkat]] na [[linyar na independiyente]]. Sa isang espasyong bektor na may nag-iisang punto (na dapat serong bektor na '''0''') walang subpangkat na linyar na independiyente. Ang mismong serong bektor ay hindi linyar na independiyente, kasi may isang kombinsasyong di-tribiyal na linyar na ginagawa nitong sero: <math>1 \cdot \mathbf{0}=\mathbf{0}</math>.

=== Sa topolohiya ===
{{main|Dimensiyong tinatakpan ni Lebesgue}}

Ang [[dimensiyong topolohikal]] ng isang [[espasyong topolohikal]] na <math>X</math> ay ipinapaliwanag bilang minimum na halaga ng ''n'', kung saan kada pinitong [[bukas na takip]] ({{lang-en|open cover}}) na <math>\mathcal{A}</math> ng <math>X</math> ay inaatim ang isang pinitong bukas na takip na <math>\mathcal{B}</math> ng <math>X</math> na [[Paglilinaw (topolohiya)|nililinaw]] <!-- en: refinement / refines --> <math>\mathcal{A}</math> upang ang walang punto ay sinasaklaw sa mas kaysa sa ''n''+1 na elemento. Kung walang minimal na ''n'', sinasabi na ang espasyo ay may impinitong tinatakpang dimensiyon.

[[Serong dimensiyonal na espasyo|Sero-dimensiyonal]] ang isang punto na may paggalang sa tinatakpang dimensiyon kasi ang kada bukas na takip ng espasyo ay may paglilinaw na kinabibilangan ng nag-iisang bukas na [[pangkat (matematika)|pangkat]].

=== Dimensiyon ni Hausdorff ===
{{main|Dimensiyon ni Hausdorff}}

Hayaan ang X na maging isang [[metrikong espasyo]]. Kung ''S'' ⊂ ''X'' at ''d'' ∈ [0, ∞), ang ''d''-dimensiyonal na '''nilalaman ni Hausdorff''' ng ''S'' ay [[impimum]] ({{lang-en|infimum}}) ng pangkat ng mga bilang na δ ≥ 0 kung saan may ilang (naka-index na) koleksiyon ng mga [[bola (matematika)|bola]]ng <math>\{B(x_i,r_i):i\in I\}</math> na tinatakpan ang ''S'', kung saan ''r<sub>i</sub>'' > 0 para sa kada ''i'' ∈ ''I'' na natutugunan ang <math display="block">\sum_{i\in I} r_i^d<\delta. </math>

Ang '''dimensiyon ni Hausdorff''' ng ''X'' ay ipinapaliwanag ng
<math display="block">\operatorname{dim}_{\operatorname{H}}(X):=\inf\{d\ge 0: C_H^d(X)=0\}.</math>

Ang isang punto ay may dimensiyon ni Hausdorff na 0 dahil natatakpan ng nag-iisang bola na may radyong arbitraryong maliit.

== Heometriyang walang punto ==
{{hatnote|Sa itong konteksto, ang pariralang "walang punto" ay sinadya upang maunawaan nang literal, at hindi ipinapahiwatig na "inutil".}}
Maski ang nosyon ng isang punto ay karaniwang ipinalalagay pundamental sa pangunahing heometriya, may mga sistema na hindi ginagamit ito, ''e.g.'' [[heometriyang di-komutatibo]] at [[topolohiyang walang punto]]. Ang isang espasyong "walang punto" o "libre ng punto" ay ipinapaliwanag hindi bilang isang [[pangkat (matematika)|pangkat]], kundi ''via'' ilang istruktura ([[C*-alhebra|alhebraiko]] o [[kumpletong alhebra ni Heyting|lohikal]] ayon sa pagkakabanggit) na nahahawig ang isang kilalang [[espasyong punsiyon]] sa pangkat: isang alhebra ng mga [[patuloy na punsiyon]] o isang [[alhebra ng mga pangkat]] ayon sa pagkakabanggit. Mas eksakto na, nilalahat ng ilang mga istruktura ang kilalang mga espasyo ng mga [[punsiyon (matematika)|punsiyon]] upang operasyong "kumuka ng isang halaga sa itong punto" maaaring walang katuturan. Ang ibang tradisyon ay nagsisimula mula sa ilang mga [[aklat]] ni [[Alfred North Whitehead]] kung saan ang nosyon ng [[Sakop (matematikal na analisis)|rehiyon]] ay ipinalalagay bilang isang primitibo kasama na nosyon ng ''pagsasama'' ({{lang-en|inclusion}}) o ''koneksiyon'' ({{lang-en|connection}}).

== Mga masang punto, at punsiyong delta ni Dirac ==
{{main|Punsiyong delta ni Dirac}}

Sa [[pisika]] at [[matematika]], madalas na kapaki-pakinabang ang isip ng isang punto bilang isa na walang [[masa]] ni [[karga (pisika)|karga]] (ito ay lalo na karaniwan sa [[klasikong elektromagnetismo]], kung saan ang mga [[elektron]] ay ikinakaperpekto bilang mga punto na may kargang di-sero). Ang '''punsiyong delta ni Dirac''', o '''punsiyong {{mvar|δ}}''', ay (impormal na) isang [[punsiyong nilalahat]] ({{lang-en|generalized function}}) sa [[tunay na guhit ng bilang]] na ay [[sero]] sa lahat ng dako maliban sa sero, na may isang [[integral]] ng isa nasa buong tunay na guhit. Ang punsiyong delta ay minsan iniisip bilang isang impinitong mataas na, impinitong manipis na pako sa [[orihen (matematika)|orihen]], na may total na [[sukat]] ng isa sa ilalim ng pako, at pisikal na kinakatawan ang isang ikinakaperpektong [[masang punto]] o [[kargang punto]]. Ipinakilala ni teoretikal na [[pisiko]] ni [[Paul Dirac]]. Sa konteksto ng [[pagproseso ng signal]] madalas na tinutukoy bilang '''simbolong''' (o punsiyong) '''yunit na impulso'''. Ang kaniyang diskretong analogo ay [[delta ni Kronecker]] na karaniwang ipinapaliwanag sa isang pinitong [[sakop (matematika)|sakop]] at kumukuha ng halagang 0 at 1.

== Tingnan din ==
{{Div col|colwidth=25em}}
* [[Punto ng pagtitipon]] ({{lang-en|Accumulation point}})
* [[Espasyong apin]] ({{lang-en|Affine space}})
* [[Punto ng hangganan]] ({{lang-en|Boundary point}})
* [[Puntong kritikal]] ({{lang-en|Critical point}})
* ? ({{lang-en|Cusp}})
* [[Mga pundasyon ng heometriya]] ({{lang-en|Foundations of geometry}})
* [[Posisyon (heometriya)]] ({{lang-en|Position (geometry)}})
* [[Ulap ng mga punto]] ({{lang-en|Point cloud}})
* [[Proseso ng mga punto]] ({{lang-en|Point process}})
* ? ({{lang-en|Point-set registration}})
* ? ({{lang-en|Pointwise}})
* [[Puntong isahan ng isang kurba]] ({{lang-en|Singular point of a curve}})
* [[Heometriya ni Whitehead ng walang punto]] ({{lang-en|Whitehead point-free geometry}})
{{Div col end}}

== Sanggunian ==
{{reflist}}

[[Kategorya:Elementaryong heometriya]]