Tingnan ang wikitext ng Sero ng punsiyon

{{redirect|Ugat ng punsiyon|kalahating iterasyon ng isang punsiyon|Punsiyonal na pariugat}}
{{lito|Ugat (matematika)}}

Sa [[matematika]], ang '''sero ng isang punsiyon''' ({{lang-en|zero of a function}}) o tinatawag ding '''ugat ng punsiyon''' ({{lang-en|root of a function}}) ng isang [[tunay na bilang|tunay]], [[komplikadong bilang|komplikado]] o pangkahalatang may halagang [[bektor]] na [[Punsiyon (matematika)|punsiyon]] ''ƒ'' ang miyembrong ''x'' ng [[sakop (matematika)|sakop]] ng punsiyong ''ƒ'' kung saan ang  ''ƒ''(''x'') ay naglalaho sa  <math>x</math>: 
:<math>x \text{ kung saan } f(x) = 0\,.</math>

Sa ibang salita, ang sero ng isang punsiyong ''ƒ'' ang halagang ''x'' na nagbibigay ng resultang [[sero]] ("0").
<ref>{{MathWorld |title=Root |urlname=Root}}</ref> Halimbawa, ang punsiyong ''ƒ'' ay inilalarawan ng [[pormula]]ng: 
:<math>f(x)=x^2-6x+9 \,.</math>
Ang ''ƒ'' ay may ugat na 3 dahil ang naging resulta sa halagang ito ay 0:
:<math>f(3) = 3^2 - 6 \times 3 + 9 = 0.\ </math>

Ang isang '''ugat''' ng isang [[polinomial]] ay isang sero ng kaukulang [[punsiyong polinomial]]. Ipinapakita ng [[pundamental na teorema ng alhebra]] na ang anumang di-serong polinomial ay may isang dami ng mga ugat na mas mababa sa o katumbas ng niyang [[grado ng isang polinomial|grado]], at na ang dami ng mga ugat ay katumbas ng grado kapag inisip ang mga komplikadong ugat (o mas heneral na, ang mga ugat sa isang [[kampong alhebraiko na sarado]] o {{lang|en|algebraically closed field}}) kabilang sa kanilang mga [[multiplisidad (matematika)|multiplisidad]]. Halimbawa, ang polinomial na <math>f</math> na may gradong dalawa, at na ipinapaliwanag ng <math>f(x)=x^2-5x+6</math>, ay may dalawang ugat (o sero) na '''2''' at '''3'''.
<math display="block">f(2)=2^2-5\times 2+6= 0\text{ at }f(3)=3^2-5\times 3+6=0.</math>

Kung iminamap ng punsiyon ang mga [[tunay na bilang]] sa tunay na bilang, ang kaniyang mga sero ay mga <math>x</math>-koordinado ng mga [[punto (heometriya)|punto]] kung saan ang kaniyang [[Grap ng punsiyon|grap]] ay nagtatagpo ng [[x-aksis]]. Ang isang alternatibong pangalan para tulad ng puntong <math>(x,0)</math> ay isang <math>x</math>-intersepto.

== Kalutasan ng isang ekwasyon ==
Ang bawa't isang [[ekwasyon]] sa di-alam na <math>x</math> ay maaaring muling isulat bilang:

:<math>f(x)=0</math>

sa pamamagitan ng pagpapangkat ng lahat ng mga termino sa kaliwang tabi. Dahil sa ito, ang mga kalutasan ng tulad ng ekwasyon ay eksakto na mga sero ng punsiyong <math>f</math>. Sa ibang salita, ang isang "sero ng isang punsiyon" ay tumpak na isang "kalutasan ng ekwasyong kinukuha kapag ipinantay ng punsiyon sa 0", at ang pag-aaral ng mga sero ng mga punsiyon ay eksakto na pareho lang ng pag-aaral ng mga kalutasan ng mga ekwasyon.

== Mga polinomial na ugat ==
{{main|Mga propyedad ng nga polinomial na ugat}}

Ang bawa't isang [[tunay na polinomial]] na may gansal na grado ay may [[gansal na bilang|gansal na dami]] ng mga tunay na ugat (kabilang sa mga [[multiplisidad (matematika)|multiplisidad]]). Ganyan din, ang isang polinomial na may tukol na grado ay may tukol na dami ng mga tunay na ugat. Dahil sa ito, ang mga tunay na gansal na polinomial ay dapat may kahit lang isang tunay na ugat (kasi ang pinakamaliit na gansal na [[likas na bilang]] ay 1) yamang ang nga tukol na polinomial ay maaaring walang tunay na ugat. Napatutunayan ang itong prinsipyo sa pamamagitan ng [[teorema ng tagapamagitang halaga]] ({{lang-en|intermediate value theorem}}): dahil sa [[patuloy na punsiyon|patuloy]] ang mga polinomial, ang halaga ng punsiyon ay dapat tumawid ng sero, habang pagbabago mula sa negatibo hanggang sa positibo o ''vice versa'' (na laging nangyayari pagdating sa mga [[gansal na punsiyon]]).

== Komputasyon ng mga ugat ==
{{main|Algoritmo ng paghahanap ng ugat|Paghihiwalay ng tunay na ugat|Paglutas ng ekwasyon}}

Madalas na kinakailangan ng komputasyon ng mga ugat ng mga punsiyon, halimbawa mga [[punsiyong polinomial]], ang paggamit ng mga teknik na espesyal o ng [[aproksimasyon]] (e.g. [[paraang Newton]]). Gayunman, ang ilang mga punsiyong polinomial, kung ang [[grado ng isang polinomial|grado]] ay mas mababa sa o katumbas ng 4, ay maaaring may lahat ng mga ugat na [[punsiyong alhebraiko|alhebraikong]] naipapahayag sa mga termino ng kanilang mga [[koepisyente]] (para sa mas, tingnan ang [[alhebraikong kalutasan]]).

== Pangkat na sero ==
Sa iba't ibang sangay ng matematika, ang '''pangkat na sero''' ng isang [[punsiyon (matematika)|punsiyon]] ay [[pangkat]] ng lahat ng niyang mga sero. Mas tumpak na, kung <math>f:X\to\mathbb{R}</math> ay isang [[tunay na punsiyon]] (o, mas heneral na, isang punsiyon na may mga halaga sa ilang [[grupo ni Abel]]), ang pangkat na sero ay <math>f^{-1}(0)</math>, ang [[inbersong imahe]] ng <math>\{0\}</math> sa <math>X</math>.

Sa ilalim ng parehong [[ipotesis]] sa [[kasakop]] ng punsiyon, ang isang [[pantay na pangkat]] ng isang punsiyong <math>f</math> ay pangkat na sero ng punsiyong <math>f-c</math> para sa ilang <math>c</math> sa kasakop ng <math>f</math>.

Ang pangkat na sero ng isang [[linyar na mapa]] ay tinatawag din na kaniyang [[ubod (alhebra)|ubod]] ({{lang-en|kernel}}).

Ang '''pangkat na kasero''' ng punsiyon <math>f:X\to\mathbb{R}</math> ay [[komplemento (teorya ng pangkat)|komplemento]] ng pangkat na sero ng <math>f</math> (i.e. ang [[subpangkat]] ng <math>X</math> kung saan <math>f</math> hindi ay sero).

=== Mga aplikasyon ===
Sa [[alhebraikong heometriya]], ang unang [[katuturan]] ng isang [[alhebraikong barayti]] ay sa pamamagitan ng mga pangkat na sero. Espesipiko na, isang [[aping alhebraikong pangkat]] ({{lang-en|affine algebraic set}}, {{lang-es|conjunto afín algebraico}}) ay [[salubungan (matematika)|salubungan]] ng mga pangkat na sero ng iba-ibang polinomial, sa isang [[singsing ng mga polinomial]] na <math>k\left[x_1,\ldots,x_n\right]</math> sa loob ng isang [[kampo (matematika)|kampo]]. Sa itong konteksto, ang isang pangkat na sero ay minsan-minsang tinatawag na ''pokus na sero''.

Sa [[matematikal na analisis|analisis]] at [[heometriya]], ang anumang [[saradong pangkat|saradong subpangkat]] ng <math>\mathbb{R}^n</math> ay pangkat na sero ng isang [[makinis na punsiyon]]g ipinapaliwanag sa lahat ng <math>\mathbb{R}^n</math>. Ito ay balido din para sa anumang [[makinis na manipoldo]] bilang isang [[korolaryo]] ng [[parapagkasiksik]] ({{lang-en|paracompactness}}).

Sa [[diperensiyal na heometriya]], ang mga pangkat na sero ay madalas na ginagamit para ipaliwanag ang mga [[manipoldo]]. Ang isang mahalagang espesyal na kaso ay kaso na ang <math>f</math> ay isang [[makinis na punsiyon]] mula sa <math>\mathbb{R}^p</math> hanggang sa <math>\mathbb{R}^n</math>. Kung ang sero ay isang [[regular na halaga]] ng <math>f</math>, ang pangkat na sero ng <math>f</math> ay isang makinis na manipoldo na may [[dimensiyon]]g <math>m=p-n</math> sa pamamagitan ng [[Paglubog (matematika)|teorema ng regular na halaga]].

Halimbawa, ang yunit na <math>m</math>-[[espera]] sa <math>\mathbb{R}^{m+1}</math> ay pangkat na sero ng tunay na punsiyong <math>f(x)=\Vert x \Vert^2-1</math>.

== Tingnan din ==
* [[Algoritmo ng paghahanap ng ugat]]
* [[Konhektura ni Sendov]]
* [[Maparam sa impinidad]]
* [[Mga sero at polo]]
* [[Tawid ng sero]]
* [[Teorema ni Marden]]

== Mga sanggunian ==
{{reflist}}

{{Stub|Matematika}}

[[Kategorya:Elementaryong Alhebra]]
[[Kategorya:Mga punsiyon at pagmamapa]]