Tingnan ang wikitext ng Trahektorya

{{for|landas sa lupa|Daanan}}
[[File:RiflemansRule.svg|thumb|350px|Isang larawan ng direksyonal na trahektorya ng isang [[bala]]ng nagpaputok sa isang paakyat na [[punterya]].]]
Ang isang '''trahektorya''' o '''landas ng paglipad''' ay landas na sinusundan ng isang bagay na may [[masa]] sa [[mosyon]] sa [[espasyo]] bilang isang [[punsiyon (matematika)|punsiyon]] ng [[panahon]]. Sa [[klasikong mekanika]], ang isang trahektorya ay ipinapaliwanag ng [[mekanika ni Hamilton]] ''via'' mga [[kanonikong koordinado]]: kaya, ang isang kumpletong trahektorya ay ipinapaliwanag ng posisyon at momentum, nang sabay.

Ang masa ay puwedeng isang [[panudla]] o isang [[buntabay]].<ref>{{cite book |title=The Principles of Physics |first=Rohit |last=Metha |chapter=11 |page=378 |lang=en}}</ref> Halimbawa, puwedeng isang [[ligiran]] — ang landas ng isang [[planeta]], [[asteroyd]] o [[kometa]] habang naglalakbay sa paligid ng isang sentral na masa.

Sa [[teorya ng kontrol]], ang isang trahektorya ay isang [[pangkat (matematika)|pangkat]], na inaayos sa panahon, ng mga [[estado]] ng isang [[sistemang dinamiko]] (tingnan ang e.g. [[mapa ni Poincaré]]). Sa [[diskretong matematika]], ang isang trahektorya ay isang [[sekwensiya]]ng <math>(f^k(x))_{k \in \mathbb{N}}</math> ng mga [[kantidad|halaga]]ng kinakalkula ng iteradong aplikasyon ng isang [[pagmamapa (matematika)|pagmamapa]]ng <math>f</math> sa isang elementong <math>x</math> ng niyang pinagmulan.

== Pisika na mga trahektorya ==
{{confusing|date=Hulyo 2023}}
Ang isang alam na halimbawa ng trahektorya ay landas ng isang panudla, tulad ng isang [[bola]] o [[bato]]ng inihahagis. Sa isang modelong makatuturang sinisimplehan, gumagalaw ang bagay lang sa ilalim ng impluwensiya ng unipormeng [[grabitasyonal]] na [[larangan ng puwersa (pisika)|larangan ng puwersa]] ({{lang-en|force field}}). Ito ay puwedeng isang mabuting aproksimasyon para sa isang batong inihahagis sa loob ng maikiksing [[distansiya]], halimbawa sa ibabaw ng [[Buwan (astronomiya)|Buwan]]. Sa itong simpleng aproksimasyon, ang trahektorya ay kumukuha ng [[hugis]] ng isang [[parabola]]. Kalimitan, kapag itinakda ang mga trahektorya, kailangan ang konsidera ng di-unipormeng grabitasyonal na mga [[puwersa]] at paglaban ng hangin ([[pagkalagkad]] at [[aerodinamika]]). Ito ay pokus ng disiplina ng [[balistika]].

Ang isa sa mga makakatuturang katuparan ng [[Mga batas ng mosyon ni Newton|mekanika ni Newton]] ay deribasyon ng [[mga batas mosyon ng mga planeta ni Kepler]]. Sa [[grabitasyonal na larangan]] ng isang [[masang punto]] o isang masang naituturing bilang isang perpektong [[espera]] (halimbawa [[Araw (astronomiya)|Araw]]) ang trahektorya ng isang bagay na gumagalaw ay isang [[seksiyong koniko]], kalimitang isang [[elipso]] o [[hiperbola]].{{efn|Teoretikal na, ang isang ligiran ay puwedeng isang [[radius|radial]] na tuwid na [[guhit (heometriya)|guhit]], [[bilog]], o [[parabola]]. Ang mga ito ay kasong nililimitahan, gayunman, at ang [[probabilidad]] na mangyayari sila sa [[katotohanan]] ay [[sero]].}} Ito ay sumasang ayon sa mga ligirang pinagmamasdan para sa mga [[planeta]], [[kometa]], at artipisyal na [[sasakyang pangkalawakan]] sa isang medyo mabuting aproximasyon, ngunit kung lumalapit ang isang kometa sa Araw, iimpluwensyahan din ng ibang mga puwersa tulad ng [[solar na hangin]] at [[presyon ng radiyasyon]], na babaguhin ang lipiran at magiging sanhi ng [[Buntot (kometa)|paglabas ng materyal mula sa kometa sa kalawakan]].

Mamayang tumubo ang teorya ni [[Isaac Newton|Newton]] sa sangay ng pisikang teoretikal na kilala bilang [[klasikong mekanika]]. Ginagamit ang [[matematika]] ng [[kalkulus na diperensiyal]] (na sinimulan rin ni Newton sa kaniyang kabataan). Sa paglipas ng mga siglo, ang yuta-yutang mga [[siyentipiko]] ay nag-ambag sa pag-unlad ng itong dalawang sangay. Ang klasikong mekanika ay naging isang napakaprominenteng demonstrasyon ng lakas ng [[makatuwirang kaisipan]], i.e. [[katwiran]], sa parehong [[agham]] at [[teknolohiya]]. Nakakatulong ito sa pag-unawa at paghula ng napakalaking isang hanay ng mga [[penomeno]]. Isang halimbawa nito ay ang trahektorya.

Isipin ang isang [[partikula]] na may [[masa]]ng <math>m</math>, na gumagalaw sa isang [[grabitasyonal na potensiyal|potensiyal na larangan]]g <math>V</math>. Sa mga tuntunin ng pisika, kinakatawan ng masa ang [[tigal]], at kinakatawan ng larangang <math>V</math> ang mga panlabas na puwersa ng isang partikular na uri na kilala bilang "konserbatibo". Para sa isang <math>V</math> sa kada makabuluhang posisyon, may paraan para hinuhain ang kaukulang puwersa (halimbawa, [[balani]]) na kikilos sa posisyong iyon. Ang hindi lahat ng mga puwersa ay naipapahayag nang ganito, gayunman.

Ang [[mosyon]] ng partikula ay inilalarawan ng itong [[ekwasyong diperensiyal]] ng ikalawang order:
:<math> m \frac{\mathrm{d}^2 \vec{x}(t)}{\mathrm{d}t^2} = -\nabla V(\vec{x}(t)) \text{ na may } \vec{x}=(x,y,z).</math>

Sa kanang tabi, ang [[puwersa]] ay ibinibigay sa mga tuntunin ng <math>\nabla V</math>, ang [[gradient (kalkulong bektor)|gradient]] ng potensiyal, na kinukuha sa mga posisyon sa kahabaan ng trahektorya. Ito ay matematikal na porma ng [[Ikalawang Batas ni Newton]]: ang puwersa ay katumbas ng masa pinarami nang [[arangkada]]ng beses, para sa tulad ng mga sitwasyon.

== Mga halimbawa ==

=== Unipormeng balani, na walang ni pagkalagkad ni hangin ===
[[File:Inclinedthrow.gif|thumb|400px|Mga trahektorya ng isang masang inihahagis sa isang anggulo ng 70°,<br>
{{color box|black}} na walang [[pagkalagkad]]<br>
{{color box|blue}} na may [[batas ni Stokes|pagkalagkad ni Stokes]]<br>
{{color box|green}} na may [[pluwido ni Newton|pagkalagkad ni Newton]]]]

Ang ideal na kaso ng [[mosyon]] ng isang [[panudla]], sa isang unipormeng grabitasyonal na larangan, na walang ibang mga puwersa (tulad ng pagkalagkad ng hangin) ay unang siniyasat ni [[Galileo Galilei]]. Ang pagpapabaya ng aksiyon ng [[atmospera]], sa paghubog ng isang trahektorya, ay ipinalagay ng praktikal na mga imbestigador sa buong [[Gitnang Kapanahunan]] sa [[Europa]]. Gayunman, dahil sa naagapan ang pagiging ng [[basyo]], na mamayang ipinakita sa [[Daigdig]] ng niyang katrabahong [[Evangelista Torricelli]]{{citation needed}}, naumpisahan ni Galileo ang agham sa hinaharap ng [[mekanika]].{{citation needed}} Sa isang malapit nang basyo, halimbawa sa [[Buwan (astronomiya)|Buwan]], sa esensya tama ang kaniyang parabolikong trahektoryang sinimplehan.

Sa pagsusuring sumusunod, pinopormulahan natin ang [[ekwasyon]] ng mosyon ng isang panudla bilang sinusukat mula sa isang [[inersyal na balangkas]] ({{lang-en|inertial frame}}) sa pahinga na may paggalang sa lupa. Kasama sa balangkas ang isang [[sistema ng koordinado]] ng kanang kamay, na may kaniyang orihen sa punto ng bunsod ng panudla. Ang [[x-aksis]] ay [[tangent]] sa lupa, at ang [[y-aksis]] ay [[perpendikular]] sa ito ([[paralelo]] sa mga [[guhit (heometriya)|guhit]] ng [[grabitasyonal na larangan]]). Hayaan {{mvar|g}} ang [[pamantayang balani|arangkada ng balani]]. Pagdating sa patag na lupain, hayaan inisyal na palahang na [[belosidad]] ang <math>v_h = v \cos(\theta)</math>, at hayaan inisyal na patayong belosidad ang <math>v_v = v \sin(\theta)</math>. Ipapakita din na ang [[saklaw ng isang panudla|saklaw]] ay <math>2v_h v_v/g</math>, at ang maximum na [[altitud]] ay <math>v_v^2/2g</math>. Ang maximum na saklaw para sa ilang inisyal na belosidad na {{mvar|v}} ay kinukuha kapag <math>v_h=v_v</math>, i.e. ang inisyal na [[anggulo]] ay 45°. Ang itong saklaw ay <math>v^2/g</math>, at ang maximum na altitud sa maximum na saklaw ay <math>v^2/(4g)</math>.

==== Deribasyon ng ekwasyon ng mosyon ====
Ipalagay na ang mosyon ng panudla ay sinusukat mula sa isang balangkas ng [[libreng pagkahulog]] nasa (''x'',''y'')&nbsp;=&nbsp;(0,0) kapag&nbsp;''t''&nbsp;=&nbsp;0. Ang ekwasyon ng mosyon ng panudla sa itong balangkas (sa [[prinsipyo ng ekwibalensiya]]) ay <math>y = x \tan(\theta)</math>. Ang mga koordinado ng itong balangkas ng libreng pagkahulog, na may paggalang sa ating inersyal na balangkas, ay <math>y = - gt^2/2</math>. Kumbaga, <math>y = - g(x/v_h)^2/2</math>.

Ngayon, kapag isinalin sa inersyal na balangkas, ang mga koordinado ng panudla ay nagiging <math>y = x \tan(\theta)- g(x/v_h)^2/2</math>. Kumbaga:

: <math>y=-{g\sec^2\theta\over 2v_0^2}x^2+x\tan\theta,</math>

(kung saan ang ''v''<sub>0</sub> ay inisyal na belosidad, ang <math>\theta</math> ay anggulo ng kataasan, at ang ''g'' ay [[arangkada]] dahil sa balani).

==== Hanay at taas ====
[[Image:Ideal projectile motion for different angles.svg|thumb|350px|Mga trahektorya ng mga panudlang inihahagis sa magkaibang mga anggulo ng kataasan pero parehong belosidad ng 10 m/s sa isang basyo at na may unipormeng pababang grabitasyonal na larangan ng 10 m/s<sup>2</sup>. Ang mga punto ay nasa mga interbalo ng 0.05 s at kahabaan ng nilang mga buntot ay linyar na [[proporsiyon]]al sa kanilang belosidad. ''t'' = time (panahon) mula sa bunsod, ''T'' = time (panahon) ng lipad, ''R'' = range (saklaw), at ''H'' = highest (pinakamataas) na punto ng trahektorya (na ipinapakita ng mga pana).]]

Ang '''saklaw''', ''R'', ay pinakamalayong distansiya na nagbibiyahe ang bagay sa kahabaan ng [[x-aksis]] sa sektor na I. Ang '''inisyal na belosidad''', ''v<sub>i</sub>'', ay belosidad ng bagay sa bunsod mula sa punto ng orihen. Ang '''inisyal na anggulo''', ''θ<sub>i</sub>'', ay anggulo ng pagpapalaya ng bagay. Ang ''g'' ay grabitasyonal na hila sa bagay sa loob ng isang basyong midyum.

: <math>R={v_i^2\sin2\theta_i\over g}</math>

Ang '''kataasan''', ''h'', ay maximum na parabolikong kataasan na umaabot ang bagay sa loob ng trahektorya.

: <math>h={v_i^2\sin^2\theta_i\over 2g}</math>

==== Anggulo ng kataasan ====
[[File:Selomie Melkie - Forensics Final Project (5).jpg|thumb|Isang halimbawang ipinapakita ang kalkulasyon ng [[trahektorya ng isang panudla|trahektorya ng isang bala]].]]

Sa mga tuntunin ng anggulo ng kataasang <math>\theta</math> at inisyal na belosidad na <math>v</math>:

:<math>v_h=v \cos \theta,\quad v_v=v \sin \theta \;</math>

kaya ang saklaw ay:

:<math>R= 2 v^2 \cos(\theta) \sin(\theta) / g = v^2 \sin(2\theta) / g\,.</math>

Muling naaayos ang itong ekwasyon para mahanap ang anggulo para sa isang kinakailangang saklaw:

: <math> \theta =  \frac 1 2 \sin^{-1} \left( \frac{g R}{ v^2 } \right) </math> (Ekwasyong II: anggulo ng bunsod ng panudla)

Itala na ang [[tungkuling sine]] ay may dalawang kalutasan para sa <math>\theta</math> para sa ilang saklaw na <math>d_h</math>. Ang anggulong <math>\theta</math> na ibinibigay ang maximum na saklaw ay nahahanap sa pamamagitan ng [[deribatibo]] ng <math>R</math> na may paggalang sa <math>\theta</math> at tamang pagsasaayos ng ekwasyon.

:<math>{\mathrm{d}R\over \mathrm{d}\theta}={2v^2\over g} \cos(2\theta)=0</math>

May [[di-tribiyal]] na kalutasan sa <math>2\theta=\pi/2=90^\circ</math>, o <math>\theta=45^\circ</math>. Ang maximum na saklaw ay <math>R_{\max} = v^2/g\,</math>. Sa itong anggulo <math>\sin(\pi/2)=1</math>, kaya maximum na kataasang kinukuha ay <math>{v^2 \over 4g}</math>.

Para mahanap ang anggulo na ibinibigay ang maximum na kataasan para sa ilang belosidad, kalkulahin ang deribatibo ng maximum na kataasan <math>H=v^2 \sin^2(\theta) /(2g)</math> na may paggalang sa  <math>\theta</math>, kumbaga <math>{\mathrm{d}H\over \mathrm{d}\theta}=v^2 2\cos(\theta)\sin(\theta) /(2g)</math>. Ito ay sero kapag <math>\theta=\pi/2=90^\circ</math>. Kaya ang maximum na kataasan <math>H_\mathrm{max}={v^2\over 2g}</math> ay kinukuha kapag ang panudla ay pinagbabaril diretso na sa taas.

=== Mga bagay sa ligiran ===
Kung, imbes na isang unipormeng pababang grabitasyonal na puwersa, iniisip natin ang dalawang bagay sa [[ligiran]] na may mutwal na grabitasyon sa isa't isa, kinukuha ang [[mga batas mosyon ng mga planeta ni Kepler]]. Ang deribasyon ng mga ito ay isa sa pangunahing gawa ni [[Isaac Newton]] at nagbigay ng karamihan ng motibasyon para sa pag-unlad ng [[kalkulus na diperensiyal]].

== Salo ng bola ==
Kung nagbibiyahe ang isang panudla, tulad ng isang [[beysbol (bola)|beysbol]] o bola ng [[kriket]], sa [[paraboliko]]ng landas, na may bahagyang [[paglaban sa hangin]], at kung ang isang manlalaro ay may posisyon kung saan nahuhuli ito sa kaniyang pagbaba, sa kaniyang tingin ang anggulo ng kataasan ay patuloy na dumadami sa buong lipad. Ang [[tangent]] ng anggulo ng kataasan ay proporsiyonal sa panahon mula sa bunsod ng bola sa hangin, madalas sa pamamagitan ng gulpi ng [[pamalo]]. Kahit kung ang bola ay talagang bumababa, malapit sa dulo ng niyang lipad, patuloy na dumadami ang kaniyang anggulo ng kataasan ayon sa tingin ng manlalaro. Kaya nanonood ang manlalaro ng bola na parang umaakyat sa konstanteng belosidad. Ang hanap ng lugar kung saan nangyayari ito ay tumutulong sa manlalaro na iposisyon ang kanyang sarili nang tama para sa salo ng bola. Kung siya ay masyadong malapit sa ''batsman'' kung sino humampas ng bola, parang aakyat ang bola sa isang antas na tumutulin. At kung masyadong malayo sa batsman, parang mabilis na babagal, tapos bababa.

{{for|isang pruweba ng pahayag sa itaas|Trahektorya ng isang panudla#Salo ng bola}}

== Tala ==
{{notelist}}

== Sanggunian ==
{{reflist}}

[[Kategorya:Balistika]]
[[Kategorya:Mekanika]]