Tingnan ang wikitext ng Trigonometriya

[[Talaksan:Unit circle angles color.svg|300px|thumb|right|Ang mga cosine at sine sa loob ng isang [[bilog na unit]]]]
Ang '''trigonometriya''' o '''trigonometrya''' ([[Bagong Latin]]: ''trigōnometria'', mula sa [[Sinaunang Griyego]]: ''[[wikt:τρίγωνον|trígōnon]]'' "tatsulok" + ''[[wikt:μέτρον|-metron]]'' "pagsukat")<ref>{{cite web|url=http://www.etymonline.com/index.php?search=trigonometry|title=trigonometry|publisher=Online Etymology Dictionary}}</ref> o '''tatsihaan'''<ref name=Gaboy>{{cite-Gaboy|''Trigonometry'', trigonometriya, tatsihaa(n)}}</ref> ay isang sangay ng [[matematika]] na isang pag-aaral ng mga [[tatsulok]], partikular iyong mga tatsulok na plano (''plane'') na may [[sulok]] na 90 digri (right triangle o tamang tasulok) at ang mga kaugnayan sa pagitan ng mga gilid at ang ang mga [[anggulo]] ng mga gilid na ito. Ang trigonometriya ay naglalarawan din ng mga [[punsiyon]] na trigonometriko na ginagamit sa pagmomodelo o pag-unawa ng mga siklikal (paulit-ulit) na mga penomena sa kalikasan gaya ng mga [[alon]] (waves). Ang trigonometriya ay nabuo noong ikatlong siglo BCE bilang sangay ng [[heometriya]] at ito'y malawakang ginamit sa pag-aaral ng [[astronomiya]]. Ito rin ang pundasyon ng pagsusukat (surveying). Ang trigonometriya ay karaniwang itinuturo sa mga estudyante ng hayskul.
== Konsepto ==
[[Talaksan:TrigonometryTriangle.svg|thumb|245px|Sa tamang tatsulok (right triangle): {{nowrap|1= sin ''A'' = ''a''/''c'';}} {{nowrap|1= cos ''A'' = ''b''/''c'';}} {{nowrap|1= tan ''A'' = ''a''/''b''.}}]]
Sa [[heometriya]], ang isang anggulo ay isang pigura na nabubuo ng dalawang sinag (ray) ng pinagsasamang dulo ng tuldok (endpoint), na tinatawag na berteks (vertex) ng anggulo. Kung ang isa sa anggulo ng isang tatsulok ay may 90 na digri at ang isa pang anggulo ay alam, ang ikatlo ay matutukoy din, dahil ang tatlong mga anggulo ng anumang tatsulok ay binubuo ng 180 digri. Ang pinagsamang dalawang akyut na mga anggulo ay may sukat na 90 digri: ang tawag dito ay mga "komplementaryong mga anggulo". Ang hugis ng isang tatsulok ay ganap na matutukoy maliban sa pagkakapareho ng mga anggulo. Kapag alam ang mga anggulo, ang mga [[rasyo]] (ratio) ng mga gilid ay matutukoy kahit ano pa ang kabuuang sukat ng tatsulok. Kung ang haba ng isa sa mga gilid ay alam, ang dalawa pang gilid ay matutukoy. Sa kanang larawan, ipinapakita ang rasyo ng mga [[punsiyon]] na trigonometriko ng isang tatsulok kung saan ang anggulong A ay alam, at ang ang a, b at c ay tumutukoy sa haba ng mga gilid nito.

*'''[[sine]]''' (sin), ay tumutukoy sa rasyo ng kabaligtarang gilid (opposite side) ng isang anggulo sa [[gilis]]

:: <math>\sin A=\frac{\textrm{kabaligtaran (opposite)}}{\textrm{haypotenus (hypotenuse)}}=\frac{a}{\,c\,}\,.</math>
*'''[[cosine]]''' (cos), ay tumutukoy sa rasyo ng katabing gilid (adjacent side) sa gilis
:: <math>\cos A=\frac{\textrm{katabi (adjacent)}}{\textrm{haypotenus (hypotenuse)}}=\frac{b}{\,c\,}\,.</math>
*'''[[tangent]]''' (tan), ay tumutukoy sa rasyo ng kabaligtarang gilid (opposite side) sa katabing gilid (adjacent side)
:: <math>\tan A=\frac{\textrm{kabaligtaran (opposite)}}{\textrm{katabi (adjacent)}}=\frac{a}{\,b\,}=\frac{\sin A}{\cos A}\,.</math>
=== Pagpapalawig ng depinisyon ===
Ang mga depinisyon sa itaas ay inalalapat sa mga anggulo sa pagitan ng 0 at 90 digri (0 at π/2 [[radian]]s) lamang. Kung gagamitin ang [[bilog na unit]] (unit circle), maaaring palawigin ang mga ito sa lahat ng positibo at negatibong argumento. Ang mga [[punsiyon]]g trigonometriko ay periodiko na may [[period]] na 360 digi o 2π radians. Ang ibig sabihin nito, ang mga halaga nito ay umuulit sa mga interbal na ito. Ang [[tangent]] at [[cotangent]] ay may mas maikling period na 180 digri o π radian.

Ang mga punsiyong trigonometriko ay maaaring ilarawan sa ibang paraan bukod sa mga heometrikal na depinisyon sa itaas gamit ang mga kasangkapan sa [[kalkulo]] at [[inpinidong serye]]. Sa mga depinisyong ito, ang mga punsiyong trigonometriko ay maaaring ilarawan para sa mga [[bilang na kompleks]]. Ang eksponensiyal na kompleks na punsiyon ay partikular na magagamit.

: <math>e^{x+iy} = e^x(\cos  y + i \sin  y).</math>

<gallery>
Talaksan:Sin drawing process.gif|Proseso ng pagga-[[grapo]] ng ''y'' = sin(''x'') gamit ang bilog na unit. 
Talaksan:Tan drawing process.gif|Proseso ng pagga-[[grapo]] ng ''y'' = tan(''x'') gamit ang bilog na unit. 
Talaksan:Csc drawing process.gif|Proseso ng pagga-[[grapo]] ng ''y'' = csc(''x'') gamit ang bilog na unit. 
</gallery>

=== Mga Punsiyong inberso ===
Ang '''Inbersong (kabaligtarang) trigonometrikong mga punsiyon''' (inverse trigonometric functions o cyclometric functions) ang mga inberso (kabaligtaran) ng mga punsiyong trigonometriko na nagbibigay ng anggulo ng tatsulok. Kung paanong ang inberso ng [[ugat ng kwadrado]] (square root) <math>y = \sqrt{x}</math> ay ang [[kwadrado]] (square) ''y''<sup>2</sup> = ''x'', ang inberso ng <math>\sin (\theta)=x</math> ay <math>\arcsin (x)=\theta</math> kung saan ang '''Θ''' ay kumakatawan sa isang anggulo ng tatsulok.

Ang tatlong karaniwang notasyon ng mga inbersyong punsiyong trigonometriko ay:
: <math>\displaystyle \mbox{Sin}^{-1}x=\theta, \arcsin x=\theta, \mbox{asin}x=\theta</math>, 
: <math>\displaystyle \mbox{Cos}^{-1}x=\theta, \arccos x=\theta, \mbox{acos}x=\theta</math>
: <math>\displaystyle \mbox{Tan}^{-1}x=\theta, \arctan x=\theta, \mbox{atan}x=\theta</math>.

Maraming halaga ang ibinibigay ng sin(y) = x; halimbawa, ang sin(0) = 0, pati na rin ang sin(π) = 0, sin(2π) = 0, at iba pa. Samakatuwid ang punsiyong arcsine ay nagbibigay rin ng maraming halaga: arcsin(0) = 0, pati na rin arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π, at iba pa. Kung isang halaga lang ang ninanais, ang punsiyon ay hihigpitan lamang sa prinsipal na sangay. Sa restriksiyong ito, sa bawat x sa sakop (domain) ng ekspresyong arcsin(x), ito ay magdudulot lamang ng isang halaga na tinatawag na prinsipal na halaga. Ang katangiang ito ay lumalapat sa lahat ng inbersong punsiyong trigonometriko. Ang mga prinsipal na inberso ay nakatala sa sumusunod na tabla:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- 
!Pangalan
!Usual na notasyon
!Depinisyon
!Sakop (domain) ng ''x'' sa real na resulta
!Range sa karaniwang prinsipal na halaga <br /> ([[radian]])
!Range sa karaniwang prinsipal na halaga <br /> ([[digri]])
|-
| '''arcsine''' || ''y'' = arcsin&nbsp;''x'' || ''x'' = [[sine|sin]]&nbsp;''y'' || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || −π/2 ≤ ''y'' ≤ π/2 || −90° ≤ ''y'' ≤ 90°
|-
| '''arccosine''' || ''y'' = arccos&nbsp;''x'' || ''x'' = [[cosine|cos]]&nbsp;''y'' || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || 0 ≤ ''y'' ≤ π || 0° ≤ ''y'' ≤ 180°
|-
| '''arctangent''' || ''y'' = arctan&nbsp;''x'' || ''x'' = [[trigonometric functions|tan]]&nbsp;''y'' || all real numbers || −π/2 < ''y'' < π/2 || −90° < ''y'' < 90°
|-
| '''arccotangent''' || ''y'' = arccot&nbsp;''x'' ||''x'' = [[cotangent|cot]]&nbsp;''y'' || all real numbers
|  0 < ''y'' < π || 0° < ''y'' < 180°
|-
| '''arcsecant''' || ''y'' = arcsec&nbsp;''x'' || ''x'' = [[Trigonometric functions#Reciprocal functions|sec]]&nbsp;''y'' || ''x'' ≤ −1 or 1 ≤ ''x'' ||  0 ≤ ''y'' < π/2  or π/2 < ''y'' ≤ π || 0° ≤ ''y'' < 90° or 90° < ''y'' ≤ 180°
|-
| '''arccosecant''' || ''y'' = arccsc&nbsp;''x'' || ''x'' = [[cosecant|csc]]&nbsp;''y'' || ''x'' ≤ −1 or 1 ≤ ''x'' || −π/2 ≤ ''y'' < 0 or 0 < ''y'' ≤ π/2 || -90° ≤ ''y'' < 0° or 0° < ''y'' ≤ 90°
|-
|}

=== Halimbawa ng praktikal na aplikasyon ng trigonometriya ===
==== Unang halimbawa ====
Ikaw ay nakatayo na may layong 20 talampakan mula sa paanan ng isang puno at nasukat mo ang anggulo ng elebasyon na 38 digri gamit ang isang instrumento (halimbawa clinometer o theodolite). Nais mong malaman ang taas ng puno ng hindi mo pisikal na susukatin ito.

Ang solusyon ay depende sa iyong taas habang sinusukat mo ang [[anggulo ng elebasyon]] mula sa linya ng paningin. Ipagpalagay nating ikaw ay may taas na 5 talampakan.

:[[Talaksan:Applications of Right Triangle Trigonometry Example 3.svg|300px|thumb|right|Ang  larawan na ito ay nagpapakita ng tatsulok na ating nilulutas]]

Ang larawan sa kanan ay nagpapakita na pag nalaman na ang halaga ng ''T'', kailangang magdagdag ng 5 talampakan sa halagang ito upang malaman ang kabuuang taas ng isang tatsulok. Upang malaman ang ''T'' kailangan nating gamitin ang punsiyong tangent:

:{| cellpadding="3" style="background:transparent;"
| style="text-align:right;" | <math>\tan (38^\circ) =\,\!</math> || <math>\frac{\text{kabaligtaran (opposite)}}{\text{katabi (adjacent)}} = \frac{T}{20}</math>
|-
| style="text-align:right;" | <math>\tan (38^\circ) =\,\!</math> || <math>\frac{T}{20}</math>
|-
| style="text-align:right;" | <math>T =\,\!</math> || <math>20 \tan (38^\circ) \approx 15.63\,\!</math>
|-
| style="text-align:right;" | <math>\text{taas ng puno} \approx\,\!</math> || <math>20.63\ \text{talampakan}\,\!</math>
|}

=== Ikalawang halimbawa ===
Ang mundo, buwan at araw ay lumikha ng tamang tatsulok (right triangle) sa unang kwarter ng buwan. Ang layo ng mundo mula sa buwan ay 240,002.5 milya. Ano ang distansiya sa pagitan ng araw at buwan?

:[[Talaksan:Applications of Right Triangle Trigonometry Example 7.svg|500px|thumb|right]]

Gamitin natin ang ''d'' bilang distansiya sa pagitan ng araw at buwan. Maaari nating gamitin ang punsiyong tangent upang matukoy ang halaga ng ''d'':

:{| cellpadding="3" style="background:transparent;"
| style="text-align:right;" | <math>\tan (89.85^\circ) =\,\!</math> || <math>\frac{d}{240,002.5}</math>
|-
| style="text-align:right;" | <math>distansiya=\,\!</math> || <math>240,002.5 \tan (89.85^\circ) = 91,673,992.71\ \text{milya}</math>
|}

== Karaniwang mga pormula ==
Ang '''identidad na trigonometriko''' ay tumutukoy sa mga ekwalidad (pagiging magkatumbas) ng mga ekspresyon ng mga [[punsiyon]] na trigonometriko na palaging totoo sa anumang halaga ng mga input gaya ng '''Θ''' at '''π''' na kumakatawan sa mga anggulo ng tatsulok. Halimbawa, sa anumang ibinigay na halaga ng '''Θ''', ang resulta ng ekspresyong <math>\sec\theta </math> ay palaging katumbas ng resulta ng ekspresyong <math>\frac{1}{\cos\theta}</math>. Ang mga ''identidad na trigonometriko'' ay ginagamit din upang lutasin/pasimplehin ang mga [[ekwasyon]] na trigonometriko sa termino ng isang punsiyon trigonometriko.
=== Mga resiprokal ===
Mga [[resiprokal]] ng cosine, sine, at tangent:
:<math>\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\quad\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.</math>
=== Simetriya ===
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
! Reflected in <math>\theta=0 </math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.13&ndash;15</ref>
! Reflected in <math>\theta= \pi/4</math><br />(co-function identities)<ref>{{Cite web |title=The Elementary Identities<!-- Bot generated title --> |url=http://jwbales.home.mindspring.com/precal/part5/part5.1.html |access-date=2011-09-28 |archive-date=2017-07-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170730201433/http://jwbales.home.mindspring.com/precal/part5/part5.1.html |url-status=dead }}</ref>
! Reflected in <math>\theta= \pi/2</math>
|-
|<math>
\begin{align}
\sin(-\theta) &= -\sin \theta \\
\cos(-\theta) &= +\cos \theta \\
\tan(-\theta) &= -\tan \theta \\
\csc(-\theta) &= -\csc \theta \\
\sec(-\theta) &= +\sec \theta \\
\cot(-\theta) &= -\cot \theta
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\
\cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\
\tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\
\csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \\
\sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\
\cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\
\cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\
\tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\
\csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \\
\sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\
\cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\
\end{align}
</math>
|}
=== Peryodisidad ===
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!Shift by π/2 
!Shift by π <br /> Period for tan and cot<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.9</ref>
!Shift by 2π <br /> Period for sin, cos, csc and sec<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.7&ndash;8</ref>
|-
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\
\csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\
\sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\
\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\
\sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\
\cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\
\sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\
\cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta
\end{align}
</math>
|}
=== Sine at cosine ng mga suma ng walang hangganang termino ===
: <math> \sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\text{odd}\  k \ge 1} (-1)^{(k-1)/2}
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) </math>

: <math> \cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\text{even}\  k \ge 0} ~ (-1)^{k/2} ~~
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) </math>
=== Tangent ng mga suma ng walang hangganang termino ===
: <math>
\begin{align}
e_0 & = 1 \\[6pt]
e_1 & = \sum_{1 \le i \le n} x_i & & = \sum_{1 \le i \le n} \tan\theta_i \\[6pt]
e_2 & = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j & & = \sum_{1 \le i < j \le n} \tan\theta_i \tan\theta_j \\[6pt]
e_3 & = \sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k & & = \sum_{1 \le i < j < k \le n} \tan\theta_i \tan\theta_j \tan\theta_k \\
& {}\  \ \vdots & & {}\  \  \vdots
\end{align}
</math>
=== Secant at cosecant ng mga suma ng walang hangganang termino ===
: <math>
\begin{align}
\sec(\theta_1 + \cdots + \theta_n) & = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt]
\csc(\theta_1 + \cdots + \theta_n) & = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}
\end{align}
</math>
Then

: <math>\tan(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots},\! </math>

=== Mga katumbas na punsiyon sa termino ng iba pang punsiyon ===
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
|+ Mga katumbas na punsiyon sa termino ng iba pang punsiyon<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;73, 4.3.45</ref>
! in terms of
! scope="col" | <math> \sin \theta\!</math>
! scope="col" | <math> \cos \theta\!</math>
! scope="col" | <math> \tan \theta\!</math>
! scope="col" | <math> \csc \theta\!</math>
! scope="col" | <math> \sec \theta\!</math>
! scope="col" | <math> \cot \theta\!</math>
|-
! <math>   \sin \theta =\!</math>
| <math>   \sin \theta\ </math>
| <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\! </math>
| <math>   \frac{1}{\csc \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\! </math>
|-
! <math>   \cos \theta =\!</math>
| <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\! </math>
| <math>   \cos \theta\! </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\! </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}\! </math>
| <math>   \frac{1}{\sec \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\! </math>
|-
! <math>   \tan \theta =\!</math>
| <math>\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\! </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}\! </math>
| <math>   \tan \theta\! </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\! </math>
| <math>\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}\! </math>
| <math>   \frac{1}{\cot \theta}\! </math>
|-
! <math>   \csc \theta =\!</math>
| <math>   \frac{1}{\sin \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\! </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}\! </math>
| <math>   \csc \theta\! </math>
| <math>\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\! </math>
| <math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}\! </math>
|-
! <math>   \sec \theta =\!</math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\! </math><center>
| <math>   \frac{1}{\cos \theta}\! </math>
| <math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\! </math>
| <math>   \sec \theta\! </math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}\! </math>
|-
! <math>   \cot \theta =\!</math>
| <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}\! </math>
| <math>\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\! </math>
| <math>   \frac{1}{\tan \theta}\! </math>
| <math>\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\! </math>
| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\! </math>
| <math>   \cot \theta\! </math>
|}
=== Teorema ni Pitagorean ===

:<math>\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \ </math>

:<math>\sec^2 A - \tan^2 A = 1 \ </math>

:<math>\csc^2 A - \cot^2 A = 1 \ </math>

=== Mga katumbas na suma at subtraksiyon sa termino ng ibang punsiyon ===
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF" 
! Sine
| align="center" | <math>\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.16</ref><ref name="mathworld_addition">{{MathWorld|title=Trigonometric Addition Formulas|urlname=TrigonometricAdditionFormulas}}</ref>
|-
! Cosine
| align="center" | <math>\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.17</ref>
|-
! Tangent
| align="center" | <math>\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}</math><ref name="mathworld_addition"/><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.18</ref>
|-
! Arcsine
| align="center" | <math>\arcsin\alpha \pm \arcsin\beta = \arcsin(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.42</ref>
|-
! Arccosine
| align="center" | <math>\arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.43</ref>
|-
! Arctangent
| align="center" | <math>\arctan\alpha \pm \arctan\beta = \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)</math><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;80, 4.4.36</ref>
|}
=== Doble-, triple-, at kalahating-anggulo ===
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"
!colspan="4"| Doble-anggulo<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.24&ndash;26</ref><ref name="mathworld_double_angle">{{MathWorld|title=Double-Angle Formulas|urlname=Double-AngleFormulas}}</ref>
|-
|style="vertical-align:top"|<math>\begin{align}
\sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}
\cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ 
&= 1 - 2 \sin^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align}</math>
|<math>\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\!</math>
|<math>\cot 2\theta = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}\!</math>
|-
!colspan="4"| Triple-anggulo<ref name="mathworld_multiple_angle">{{MathWorld|title=Multiple-Angle Formulas|urlname=Multiple-AngleFormulas}}</ref><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.27&ndash;28</ref>
|-
|<math>\begin{align}\sin 3\theta & = 3 \cos^2\theta \sin\theta - \sin^3\theta \\
& = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \end{align}</math>
|<math>\begin{align}\cos 3\theta & = \cos^3\theta - 3 \sin^2 \theta\cos \theta \\
& = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta\end{align}</math>
|<math>\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}\!</math>
|<math>\cot 3\theta = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}\!</math>
|-
!colspan="4"| Kalahating-anggulo<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.20&ndash;22</ref><ref name="mathworld_half_angle">{{MathWorld|title=Half-Angle Formulas|urlname=Half-AngleFormulas}}</ref>
|-
|<math>\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}</math>
|<math>\cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}</math>
|<math>\begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\[10pt]
\tan\frac{\eta+\theta}{2} & = \frac{\sin\eta+\sin\theta}{\cos\eta+\cos\theta} \\[8pt]
\tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) & = \sec\theta + \tan\theta \\[8pt]
\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} & = \frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)} \end{align}</math>
|<math>\begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} \end{align}</math>
|}
=== Pagbawas kapangyarihan ===
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!Sine
!Cosine
!Other
|-
|<math>\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\!</math>
|<math>\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\!</math>
|<math>\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}\!</math>
|-
|<math>\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}\!</math>
|<math>\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}\!</math>
|<math>\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}\!</math>
|-
|<math>\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\!</math>
|<math>\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\!</math>
|<math>\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}\!</math>
|-
|<math>\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}\!</math>
|<math>\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}\!</math>
|<math>\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}\!</math>
|}

{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
! 
!Cosine
!Sine
|-
!<math>\text{if }n\text{ is odd}</math>
|<math>\cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}</math>
|<math>\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{(\frac{n-1}{2}-k)} \binom{n}{k} \sin{((n-2k)\theta)}</math>
|-
!<math>\text{if }n\text{ is even}</math>
|<math>\cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}</math>
|<math>\sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{(\frac{n}{2}-k)} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}</math>
|-
|}
=== Produkto-sa-suma at suma-sa-produkto ===
{|
|style="vertical-align:top"|
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!Product-to-sum<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.31&ndash;33</ref>
|-
| <math>\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math>
|-
| <math>\sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}</math>
|-
| <math>\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math>
|-
| <math>\cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math>
|}
|
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!Sum-to-product<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.34&ndash;39</ref>
|-
|<math>\sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)</math>
|-
|<math>\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)</math>
|-
|<math>\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( {\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi \over 2}\right)</math>
|}
|}
=== Walang hangganang produkto ===
{{col-start}}
{{col-2}}
: <math>\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)</math>

: <math>\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)</math>

: <math>\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)</math>
{{col-2}}
: <math>\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)</math>

: <math>\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)</math>

: <math>|\sin x| = \frac1{2}\prod_{n = 0}^\infty \sqrt[2^{n+1}]{\left|\tan\left(2^n x\right)\right|}</math>
{{col-end}}
=== Pormula ni Euler ===
Ang pormula ni Euler na nagsasaad na <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math> ay lumilikha ng mga sumusunod na identidad na analitikal para sa sine, cosine at tangent sa termino ng ''[[e (matematika)|e]]'' at [[imahinaryong unit]] na ''i'':
:<math>\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, \qquad \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \qquad \tan x = \frac{i(e^{-ix} - e^{ix})}{e^{ix} + e^{-ix}}.</math>

== Pagtukoy ng mga gilid at anggulo ==
[[Talaksan:Triangle with notations 2.svg|thumb|198px|right| Ang mga anggulong ''&alpha;'', ''&beta;'', at ''&gamma;'' ay kabalagitaran ng mga gilid na ''a'', ''b'', and&nbsp;''c''.]]
=== Batas ng mga sine ===
Ang '''batas ng mga sine''' (law of sines) ay ginagamit upang kwentahin ang mga natitirang gilid kung ang dalawang anggulo at isang gilid ay alam. Ito ay ginagamit rin kung ang dalawang gilid at ang anggulo sa pagitan nito ay alam. Sa ibang kaso, ang pormula ay nagbibigay ng dalawang posibleng halaga sa anggulo sa pagitan ng dalawang gilid.

:<math>\frac{a}{\sin\alpha\ } = \frac{b}{\sin\beta\ } = \frac{c}{\sin\gamma\ } = 2R,</math>
kung saan ang ''R'' ang [[radyus]] ng bilog na sirkumskribo (bilog na dumadaan sa lahat ng berteks ng isang tatsulok):

:<math>R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}.</math>

Isa pang batas kaugnay ng sine ay maaaring gamitin upang kwentahin ang isang [[area]] ng isang tatsulok. Kung ang dalawang mga gilid at isang anggulo sa pagitan ng mga gilid na ito ay ibinigay, ang area ng tatsulok ay:

:<math>\mbox{Area} = \frac{1}{2}a b\sin C.</math>

[[Talaksan:Circle-trig6.svg|thumb|right|Lahat ng mga punsiyong trigonometriko ng isang anggulong tinatawag na ''θ'' ay maaaring likhain sa termino ng isang bilog na unit (unit circle) sa ''O''.]]
=== Batas ng mga cosine ===
Ang '''batas ng mga cosine''' (law of cosines) ay isang ektensiyon ng [[Teorema ni Pitagoras]] sa anumang napiling sukat na tatsulok. Ang batas ng cosine ay ginagamit upang malaman ang ikatlong gilid kung ang dalawang gilid at ang ang anggulo sa pagitan ng dalawang gilid na ito ay alam.

: <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\,</math>
: <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\,</math>
: <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta\,</math>

Ang inibang anyo ng batas ng cosine ay ginagamit upang malaman ang mga anggulo ng isang tatsulok kung ang lahat ng gilid nito ay alam.

:<math>\cos\gamma\ =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\,</math>
:<math>\cos\alpha\ =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\,</math>
:<math>\cos\beta\ =\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\,</math>
=== Batas ng mga tangent ===
Ang '''batas ng mga tangent''' (law of tangents) ay maaaring gamitin upang matukoy ang isang gilid o anggulo kung ang dalawang gilid at isang anggulo na hindi kasama o dalawang anggulo at isang gilid ay alam. 
:<math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}</math>

== Halimbawa ng paglutas ng trigonometrikong ekwasyon ==
Para lutasin ang [[bariabulo]] na x sa ekwasyong nasa anyong <font size=4><math>a  \sin x +  b \cos x = c</math></font> kung saan ang a, b, at c ay [[konstante]], gagamit tayo ng '''identidad na trigonometriko''' na:

:<math>a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin \left(x + \alpha\right)</math>

Para malaman ang halaga ng anggulong <math>\alpha</math> gagamit tayo ng arctangent:
:<math>\alpha = \begin{cases} \tan^{-1} \left(b / a\right), & \mbox{if } a > 0 \\ \pi + \tan^{-1} \left(b / a\right), & \mbox{if } a < 0 \end{cases}</math>

Ang ekwasyon ay naging:

:<math>\sqrt{a^2 + b^2} \sin \left(x + \alpha\right) = c</math>

Pansinin na ang ekwasyon ay pinasimple dahil sa paghalili ng identidad sa termino ng isa lamang punsiyon na trigonometriko. Sa kasong ito ay sa punsiyong sine (sin) na lamang.

Ngayon, hatiin (divide) ang parehong panig ng ekspresyon, ng :<math>\sqrt{a^2 + b^2}</math>

:<math>\sin{\left(x + \alpha\right)} = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}</math>

Ang ekwasyon ito ay nasa anyong <font size=4><math> \sin x = n</math></font> na ang mga solusyon ay:

:<math>x=\alpha + 2 k \pi\,\!</math>

:<math>x=\pi - \alpha + 2 k \pi\,\!</math>

kung saan ang :<math>\alpha=\sin^{-1} n\,\!</math> at ang <math>k</math> ay isang [[intedyer]].

Halimbawa, lulutasin natin ito:

:<math>\sin 3 x - \sqrt{3}\cos 3 x = -\sqrt{3}</math>

Sa kasong ito, meron tayong:

:<math>a = 1, b = -\sqrt{3}, c = -\sqrt{3}</math>
:<math>\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + \left(-\sqrt{3}\right)^2} = 2</math>
:<math>\alpha = \tan^{-1} \left(-\sqrt{3}\right) = -\frac{\pi}{3}</math>

Ilapat ang nasa taas sa '''identidad na trigonometriko''' na <math>\sqrt{a^2 + b^2} \sin \left(x + \alpha\right)</math>

Ang ekwasyong <math>\sin 3 x - \sqrt{3}\cos 3 x = -\sqrt{3}</math> ay naging <math>\sqrt{a^2 + b^2} \sin \left(x + \alpha\right) = c</math>

:<math>2 \sin \left(3x - \frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}</math>

Ngayon, hatiin (divide) ang parehong panig ng ekspresyon, ng :<math>2</math>

:<math>\sin \left(3x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}</math>

Kung gagamitin natin ang pormula na <math>\sin x = n</math>, ang mga solusyon ng orihinal na ekwasyong <font size=5><math>\sin 3 x - \sqrt{3}\cos 3 x = -\sqrt{3}</math></font> ay:

:<math>3x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2 k \pi \Leftrightarrow x = \frac{2 k \pi}{3}</math>

:<math>3x - \frac{\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3} + 2 k \pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{9}\left(6k + 5\right)</math>

kung saan ang <math>k</math> ay isang [[intedyer]].

== Mga sanggunian ==

{{reflist}}
{{Matematika}}

[[Kategorya:Trigonometriya]]