Inbersong punsiyon

Ang punsiyong $f$ at ang inberso nitong $f^{-1}$. Dahil sa ang $f$ ay nagmamapa ng $a$ sa $3$, ang inbersong punsiyon na $f^{-1}$ ay nagmamapa ng $3$ pabalik sa $a$.

Ang inbersong punsiyon (Ingles, inverse function) ay ang punsiyong nagbabaliktad sa isang punsiyon. Kung ang input na $x$ sa punsiyong $f$ ay lumilikha ng output na $y$, kung gayon ang paglalagay ng $y$ sa inbersong punsiyong $g$ ay lilikha ng output na $x$, at bise bersa o

$f(x)=y$ at $g(y)=x$

Sa tuwiran, ang $g(f(x))=x$ ay nangangahulugang ang $g(x)$ na binuo ng $f(x)$ ay nag-iiwan sa $x$ na hindi nababago. Ang isang punsiyong $f$ na may inberso ay tinatawag na invertible. Ang inbersong punsiyon ay unikong matutukoy ng $f$ at may simbolong $f^{-1}$ (binabasang f inberso).

Ang isang relasyon ay matutukoy na may inberso kung ito ay isang punsiyong isa-sa-isa (one-to-one). Hindi lahat ng punsiyon ay may inberso.

Mga halimbawa

Buong inberso

Isang halimbawa ay ang punsiyong $f(x)=(2x+8{)}^3$. Upang mahanap ang inberso ng $f$, kailangang makuha ang katumbas ng $x$ sa $y=f(x)$:

$\begin{array}{cc}y& =(2x+8{)}^3\\ \sqrt[3]{y}& =2x+8\\ \sqrt[3]{y}-8& =2x\\ \frac{\sqrt[3]{y}-8}{2}& =x.\end{array}$

Ang $y=\sqrt{x}$ ay isang parsiyal na inberso ng $f(x)=x^2$ sa domain na $x\ge 0$.

Dahil $x=f^{-1}(y)$, ang inbersong punsiyon $f^{-1}$ ay

$f^{-1}(y)=\frac{\sqrt[3]{y}-8}{2}.$

Parsiyal na inberso

Isa pang halimbawa ay ang punsiyong $g(x)=x^2$. Upang mahanap ang inbersong punsiyong $g^{-1}$,

$\begin{array}{cc}y& =x^2\\ \sqrt{y}& =x.\\ \end{array}$

Kahit ang punsiyong $g$ ay hindi isang punsiyong isa-sa-isa ($g(-x)=g(x)=x^2$), ito ay isang punsiyong isa-sa-isa kung ang domain ng $x$ ay gagawing $x\ge 0$. Kung kaya ang inberso ng $g$ ay

$g^{-1}(y)=\sqrt{y}.$

Iskalang Celsius at Fahrenheit

Upang makuha ang katumbas ng halaga sa iskalang Fahrenheit ng isang temperaturang nasa iskalang Celsius:

$F=\frac{9}{5}C+32$

kung saan ang $F$ ay ang temperatura sa iskalang Fahrenheit at $C$ naman ay sa iskalang Celsius.

Kung hahayaan ang tumbasang ito na maging isang punsiyong $f$ ,

$F=f(C)=\frac{9}{5}C+32$

kayang makuha ang inberso nitong $f^{-1}$:

$\begin{array}{cc}F& =\frac{9}{5}C+32\\ F-32& =\frac{9}{5}C\\ \frac{5}{9}(F-32)& =C.\\ \end{array}$

Kung kaya naman ang katumbas sa Celsius ng temperaturang $F$ sa Fahrenheit ay binibigay ng $f^{-1}(F)$:

$C=f^{-1}(F)=\frac{5}{9}(F-32).$