Integrasyong Lebesgue

integrasyong Riemann-Darboux(asul) at integrasong Lebesgue(pula).

Sa matematika, ang integral ng isang hindi negatibong punsiyon ay maaaring ituring sa pinakasimpleng kaso bilang ang area sa pagitan ng grapo ng punsiyong ito at ang x aksis. Ang integrasyong Lebesgue ay isang konstruksiyong matematikal na nagpapalawig ng integral sa isang mas malaking klase ng mga punsiyon. Ito ay nagpapalawig rin ng mga sakop kung saan ang mga punsiyong ito ay inilarawan. Ito ay gumagampan ng isang mahalagang papel sa sangay ng matematikang tinatawag na real na analisis at sa iba pang mga larangan ng matematika. Ito ay ipinangalanan sa matematikong si Henri Lebesgue na nagpapakilala nito noong 1904. Ito ay isang mahalaga ring bahagi ng aksiyomatikong teoriya ng probabilidad.

Inimbento ni Lebesgue ang isang bagong paraan ng integrasyon. Sa halip ng paggamit ng mga area ng parihaba na pumopokus sa sakop ng punsiyon, tiningnan ni Lebesgue ang kapwa-sakop ng punsiyon para sa kanyang pundamental na unit ng area. Ang ideya ni Lebesgue ay magtayo muna ng integral para sa kanyang tinatawag na mga simpleng punsiyon na mga masusukat na punsiyon na kumukuha lamang ng mga may hangganang maraming halaga. Pagkatapos ay kanyang inilarawan ito para sa mas komplikadong mga punsiyon bilang pinakamaliit na itaas na pagtatakda ng lahat ng mga integral ng simpleng punsiyon na mas maliit sa punsiyong isinasaalang alang. Ang integrasyon ni Lebesgue ay may katangiang ang bawat tinatakdaang punsiyon na inilarawan sa ibabaw ng isang tinatakdaang interbal na may integral na Riemann ay mayroon ring integral na Lebesgue at para sa mga punsiyon ang dalawang mga integral na ito ay magkaayon. Gayunpaman, mayroon maraming mga punsiyon na may integral na Lebesgue na walang integral na Riemann. Bilang bahagi ng pagpapaunlad ng integrasyong Lebesgue, inimbento ni Lebesgue ang konsepto ng sukat na nagpapalawig ng ideya ng haba mula sa mga interbal tungo sa isang napakalaking klase ng mga hanayna tinatawag na mga masusukat na hanay. Ang paraan ni Lebesgue sa paggawa ng isang sukat sa isang integral ay madaling lumalhat sa maraming ibang mga sitwasyon na tumungo sa modernong larangan ng teoriya ng sukat. Upang ilarawan ang integral na Lebesgue ng pormal ay nangangailangan ng nosyon ng sukat na nag-uugnay sa bawat hanay na A ng mga real na bilang ng isang hindi negatibong bilang na $\mu (A)$ na kumakatawan sa sukat ng A. Ang nosyong ito ng sukat ay dapat umayon sa karaniwang haba ng interbal o hindi magkasanib na unyon ng mga interbal. Ipagpalagay na ang $f:ℝ\to ℝ$ ay isang hindi negatibong may halagang real na punsiyon. Gamit ang pagpapartisyon ng saklaw ng f, ang integral ng f ay dapat ang suma sa ibabaw ng t ng mga area sa pagitan ng isang manipis na pirasong horisontal sa pagitan ng $y=t$ and $y=t+dt$. Ang area na ito ay isa lang $\mu \{x|f(x)>t\}dt$. Itakda ang $f^{*}(t)=\mu \{x|f(x)>t\}$. Ang integral na Lebesgue ng f ay inilalarawan naman ng

$\int f=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}^{*}(t)dt$

kung saan ang integral sa kanan ay isang ordinaryong hindi angkop na integral na Rieman. Para sa angkop na klase ng mga punsiyon(mga masusukat na punsiyon), ito ay naglalarawan ng integral na Lebesgue. Ang isang pangkalahatan(hindi kinakailangang positibong) punsiyong f ay maiintegrado ng Lebesgue kung ang area sa pagitan ng grapo ng f at ang aksis na x ay may hangganan:

$\underset{E}{\int }|f|d\mu <+\mathrm{\infty }.$

Sa kasong ito, ang integral gaya ng sa kasong Riemann, ang pagkakaiba sa pagitan ng area sa itaas na aksis na x at ang area sa ilalim ng aksis na x:

$\underset{E}{\int }fd\mu =\underset{E}{\int }{f}^{+}d\mu -\underset{E}{\int }{f}^{-}d\mu$

kung saan ang

$\begin{array}{cccc}{f}^{+}(x)& =\max (\{f(x),0\})& =& \{\begin{array}{cc}f(x),& \text{if }f(x)>0,\\ 0,& \text{otherwise,}\end{array}\\ f^{-}(x)& =\max (\{-f(x),0\})& =& \{\begin{array}{cc}-f(x),& \text{if }f(x)<0,\\ 0,& \text{otherwise.}\end{array}\end{array}$

Konstruksiyon

Ito ay nagsisimula sa isang espasyong sukat (E, X, μ) kung saan E ay isang hanay, ang X ay isang σ-alhebra ng mga subpangkat ng E at ang μ ay isang hindi negatibong sukat sa E na inilalarawan sa mga hanay ng X. Halimbawa, ang E ay maaaring epasyong-n na Euclidean na Rⁿ o isang masusukat na Lebesgue na subpangkat nito, ang X ang σ-alhebra ng E, at ang μ ang sukat Lebesgue. Sa teoriya ng probabilidad, ang pag-aaral ay nililimita sa sukat ng probabilidad μ na sumasapat sa$\mu (E)=1$. Sa teoriya ng Lebesgue, ang mga integral ay nilalarawan para sa isang klase ng mga punsiyong tinatawag na mga masusukat na punsiyon. Ang isang ƒ ay masusukat kung ang pre-imahe ng bawat interbal ng anyong $(t,\mathrm{\infty })$ ay nasa X:

$\{x\mid f(x)>t\}\in X\text{for all}t\in ℝ.$

Maipapakita na ito ay katumbas ng pag-aatas ng pre-imahe ng anumang subpangkat na Borel ng R na nasa X. Ang hanay ng mga masusukat na punsiyon ay sarado sa ilalim ng mga operasyong alhebraiko ngunit sa mas mahalaga, ang klase ay sarado sa ilalim ng iba't ibang mga uri ng sa puntong mga hangganang sekwensiyal:

$\underset{k\in \mathbb{N}}{\sup }{f}_k,\underset{k\in \mathbb{N}}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_k,\underset{k\in \mathbb{N}}{\mathrm{lim\; sup}}{f}_k$

ay masusukat kung ang orihinal na sekwensiya(ƒ_k)_k kung saan ang k ∈ N, ay binubuo ng mga masusukat na punsiyon.

Bibliyograpiya

• Padron:Cite book

• Padron:Cite book

• Padron:Cite book Very thorough treatment, particularly for probabilists with good notes and historical references.

• Padron:Cite book

• Padron:Cite book A classic, though somewhat dated presentation.

• Padron:Cite document

• Padron:Cite book

• Padron:Cite book

• Padron:Cite book Includes a presentation of the Daniell integral.

• Padron:Cite book Good treatment of the theory of outer measures.

• Padron:Cite book

• Padron:Cite book Known as Little Rudin, contains the basics of the Lebesgue theory, but does not treat material such as Fubini's theorem.

• Padron:Cite book Known as Big Rudin. A complete and careful presentation of the theory. Good presentation of the Riesz extension theorems. However, there is a minor flaw (in the first edition) in the proof of one of the extension theorems, the discovery of which constitutes exercise 21 of Chapter 2.
• Padron:Cite document. English translation by Laurence Chisholm Young, with two additional notes by Stefan Banach.

• Padron:Cite book Emphasizes the Daniell integral.

• Padron:Citation.