Tingnan ang wikitext ng Pangkat (matematika)

{{confuse|Grupo (matematika)}}
{{about|ang tinatawag ng mga matematiko na "intuitibong" teorya ng pangkat|mas mahigpit na modernong [[aksiyoma]]tikong talakayan ng mga pangkat|Teorya ng pangkat}}
{{also|Pangkat}}
[[Talaksan:Example of a set.svg|thumb|Isang pangkat ng mga poligono sa isang [[diyagrama ni Euler]].]]

Sa [[matematika]], ang isang '''pangkat''' o '''tangkas'''<ref>{{Maugnayin|tangkas|60}}</ref> ({{lang-en|set}}) ay isang koleksyon ng mga natatanging [[Elemento (matematika)|elemento]].<ref name="JainAhmad1995">{{cite book|author1=P. K. Jain|author2=Khalil Ahmad|author3=Om P. Ahuja|title=Functional Analysis|url=https://books.google.com/books?id=yZ68h97pnAkC&pg=PA1|year=1995|publisher=New Age International|isbn=978-81-224-0801-0|page=1|language=en}}</ref><ref name="Goldberg1986">{{cite book|author=Samuel Goldberg|title=Probability: An Introduction|url=https://books.google.com/books?id=CmzFx9rB_FcC&pg=PA2|date=1 Enero 1986|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-65252-8|page=2|language=en}}</ref><ref name="CormenCormen2001">{{cite book|author1=Thomas H.. Cormen|author2=Thomas H Cormen|author3=Charles E Leiserson|author4=Ronald L Rivest|author5=Clifford Stein|title=Introduction To Algorithms|url=https://books.google.com/books?id=NLngYyWFl_YC&pg=PA1070|year=2001|publisher=MIT Press|isbn=978-0-262-03293-3|page=1070|language=en}}</ref> Maaring kahit anumang bagay ang mga elementong binubuo ng isang pangkat: mga tao, mga titik ng [[alpabeto]], mga [[bilang]], mga punto sa espasyo, mga [[guhit]], mga hugis pang-[[heometriya]], mga [[baryable]], o kahit ibang mga pangkat.{{sfn|Halmos|1960|p=1}} Magkatumbas ang dalawang pangkat kung at kung lamang sila ay mayroong tumpak na mga parehong elemento.<ref name="Stoll">{{Cite book |last=Stoll |first=Robert |title=Sets, Logic and Axiomatic Theories |year=1974 |publisher=W. H. Freeman and Company |pages= [https://archive.org/details/setslogicaxiomat0000stol/page/5 5] |url= https://archive.org/details/setslogicaxiomat0000stol |url-access=registration|language=en}}</ref>

Nasa lahat ng dako ng makabagong matematika ang mga pangkat. Sa katunayan, ang [[teorya ng pangkat]], mas partikular ang teorya ng pangkat ng Zermelo–Fraenkel, ay naging pamantayang paraan upang magbigay ng mahigpit na mga pundasyon para sa lahat ng sangay ng matematika simula pa noong unang kalahati ng [[ika-20 dantaon]].{{sfn|Halmos|1960|p=1}}

== Kasaysayan ==
{{main|Teorya ng pangkat#Kasaysayan}}

Lumitaw ang konsepto ng isang pangkat sa matematika sa pagtatapos ng ika-19 na siglo. Ang Alemang salita para sa isang pangkat, ''Menge'', ay nilalang ni [[Bernard Bolzano]] sa kaniyang aklat ng ''Paradoxien des Unendlichen'' ({{lang-tl|Mga Kabalintunaan ng Walang Hangganan}}).

[[File:Passage with the set definition of Georg Cantor.png|thumb|Teksto na may pagsasalin sa [[Ingles]] ng orihinal na kahulugan ni Georg Cantor para sa isang pangkat. Dito isinasalin ng [[Wikang Aleman|Alemang]] salitang ''Menge'' ({{lang-tl|pangkat}}) bilang ''aggregate'' ({{lang-tl|kapulungan}}).]]

Ibinigay ni [[Georg Cantor]], isa sa mga tagapagtatag ng teorya ng pangkat, ang kasunod na kahulugan sa simula ng kaniyang ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre'' ({{lang-tl|Mga Ambag para sa Pundasyon ng Teorya ng Pangkat}}):<ref name="Cantor">{{cite journal |quote=By an aggregate (Menge) we are to understand any collection into a whole (Zusammenfassung zu einem Gansen) M of definite and '''separate''' objects m  (p.85)|last1=Cantor |first1=Georg |last2=Jourdain |first2=((Philip E.B. (Translator))) |title=beiträge zur begründung der transfiniten Mengenlehre |journal=Mathematische Annalen |date=1895 |volume=xlvi;xlix |pages=481–512;207–246 |trans-title=contributions to the founding of the theory of transfinite numbers |publisher=New York Dover Publications (1954 English translation) |language=German |url=http://brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_03.htm|archive-url=https://web.archive.org/web/20110610133240/http://brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_03.htm |archive-date=2011-06-10 }}</ref>

{{blockquote|Ang pangkat ay isang kapulungan sa kabuuan ng mga natatanging bagay ng nating persepsyon o nating pag-iisip, na tinatawag na mga elemento ng pangkat.}}

Nagpasok ni [[Bertrand Russell]] ang katangian sa pagitan ng isang pangkat at isang [[Klase (teorya ng pangkat)|klase]] (ang pangkat ay isang klase, pero ilang mga klase, tulad ng klase ng lahat ng mga pangkat, hindi ay mga pangkat, halimbawa [[kabalintunaan ni Russell]]):<ref>[[Bertrand Russell]] (1903) ''[[The Principles of Mathematics]]'', chapter VI: Classes (sa Ingles).</ref>

{{blockquote|Kapag inatupag ng mga [[matematiko]] ang kapulungan, {{lang-de|Menge|label=none}}, {{lang-fr|ensemble|label=none}}, o katumbas na pangalan, karaniwan, lalo na kung saan ang bilang ng mga termino na kinabibilangan ay may hangganan, may palagay ng mismong bagay (sa katunayan isang klase) bilang tala ng niyang mga termino, at palagay na posible na may iisang termino, na nasa kasong iyon ''ay'' isang klase.}}

=== Intuitibong teorya ng pangkat ===
{{main|Intuitibong teorya ng pangkat}}

Ang pangunahing propyedad ng isang pangkat ay na maaaring sumaklaw ng mga elemento, na tinatawag din na ''miyembro''. Katumbas ang dalawang pangkat kung may parehong mga elemento. Mas eksakto na, katumbas ang mga pangkat ng ''A'' at ''B'' kung bawa't isang elemento ng ''A'' ay isang elemento ng ''B'', at bawa't isang elemento ng ''B'' ay isang elemento ng ''A''. Ang itong propyedad ay tinatawag na ''[[ekstensiyonalidad]]'' ({{lang-es|extensionalidad}}, {{lang-en|extensionality}}) ''ng mga pangkat''.

Ang simpleng konsepto ng isang pangkat ay naging napaka-kapaki-pakinabang sa matematika, pero lumilitaw ang mga [[kabalintunaan]] kung walang takda nasa pagpapagawa ng mga pangkat:

* Ang [[kabalintunaan ni Russell]] ay ipinapakita na ang "pangkat ng lahat ng mga pangkat na hindi sumasaklaw ng mga mismo", kumbaga {{mset|''x'' | ''x'' is a set and ''x'' ∉ ''x''}}, ay imposible.
* Ang [[kabalintunaan ni Cantor]] ay ipinapakita na ang "pangkat ng lahat ng mga pangkat" ay imposible.

Ipinapaliwanag ng [[intuitibong teorya ng pangkat]] ({{lang-en|naive set theory}}) ang pangkat bilang anumang koleksiyon na [[Ekspresyon na naayos na ipinapaliwanag|maayos na ipinapaliwanag]] ({{lang-en|well-defined}}) na may mga natatanging elemento, pero lumilitaw ang mga problema dahil sa labo ng terminong ''maayos na ipinapaliwanag''.

=== Aksiyomatikong teorya ng pangkat ===
Sa kasunod na mga pagsisikap para lutasin ang itong mga kabalintunaan sapul nang orihinal na pormulasyon ng intuitibong teorya ng pangkat, ang mga propyedad ng mga pangkat ay ipinapaliwanag ng mga [[aksiyoma]]. Naiintindihan ng aksiyomatikong teorya ng pangkat ang konsepto ng isang pangkat bilang isang [[primitibong nosyon]]. Ang layon ng mga aksiyoma ay idulot ang basikong balangkas para hinuhain ang [[katotohanan]] o [[kasinungalingan]] ng partikular na matematikal na mga proposisyon (mga sabi) tungkol sa mga pangkat, sa pamamagitan ng [[lohika ng unang orden]]. Gayunman, ayon sa [[mga teorema ng di-pagkakumpleto ni Gödel]] ({{lang-en|Gödel's incompleteness theorems}}), imposible ang paggamit ng lohika ng unang orden para patunayan na anumang aksiyomatikong teorya ng pangkat ay walang kabalintunaan.

== Kahulugan at notasyon ==
Karaniwang ipinapaliwanag ng mga tekstong matematikal ang mga pangkat sa [[malaking titik|malalaking titik]] sa ''italiko'', tulag ng {{mvar|A}}, {{mvar|B}}, {{mvar|C}}.<ref name=":1">{{Cite web|title=Introduction to Sets|url=https://www.mathsisfun.com/sets/sets-introduction.html|access-date=2020-08-19|website=www.mathsisfun.com|lang=en}}</ref> Ang isang pangkat ay natatawag din na ''koleksiyon'' o ''pamilya'', lalo na kung ang kaniyang mga elementong mismo ay mga pangkat

=== Notasyong pantala ===
Sa notasyong pantala ({{lang-en|roster notation, enumeration notation}}) ipinapaliwanag ang isang pangkat ng tala ng niyang mga elemento sa pagitan ng mga [[kulot na panaklong]], na hinihiwalayan ng mga [[kuwit]]:

{{block indent|{{math|1=''A'' = {{mset|4, 2, 1, 3}}}}}}
{{block indent|{{math|1=''B'' = {{mset|asul, puti, pula}}}}.}}

Sa isang pangkat, mahalaga lang ang pagkakasama ng bawa't isang elemento, kaya hindi makabuluhan ang pagsasaayos sa notasyong pantala (sa kabilang banda, sa isang [[sekwensiya]], [[tupla]], o [[permutasyon]] ng isang pangkat, makahuluhan ang pagsasaayos). Halimbawa, ang {{math|{{mset|2, 4, 6}}}} at {{math|{{mset|4, 6, 4, 2}}}} ay kinakatawan ang parehong pangkat.

Para sa mga pangkat na may maraming elemento, lalo na kung may implisitong padron, ang tala ng mga miyembro ay maaaring daglatin ng [[elipsis]] "{{math|...}}" Halimbawa, ang pangkat ng unang libong positibong [[buumbilang]] ay maaaring tukuyin sa notasyong pantala ganito:

{{block indent|{{math|{{mset|1, 2, 3, ..., 1000}}}}.}}

=== Semantikong kahulugan ===

Ang ibang paraan para ipaliwanag ang isang pangkat ay sa pamamagitan ng isang panuntunan para itakda ang mga elemento:

{{block indent|Ipaliwanag {{mvar|A}} bilang pangkat na ang kaninong mga miyembro ay unang apat na positibong [[buumbilang]].}}
{{block indent|Ipaliwanag {{mvar|B}} bilang pangkat ng mga [[kulay]] ng [[watawat ng Pilipinas]].}}

Ang ganyang kahulugan ay tinatawag na isang ''semantikong paglalarawan''.

=== Notasyong pampangkat ===
{{main|Notasyong pampangkat}}

Tinutukoy ng notasyong pampangkat ang isang pangkat bilang isang pagpili mula sa isang mas malaking pangkat. Ang itong pagpili ay itinatakda ng isang kondisyon sa mga elemento. Halimbawa, isang pangkat ng {{mvar|F}} ay naipapaliwanag ganito:

<math display="block">F = \{n \mid n \text{ ay buumbilang, at } 0 \leq n \leq 19\}.</math>

Sa itong notasyon, ang [[bertikal na harang]] "|" ay nangangahulugan ng "kung saan", at nababasa ang paglalarawan bilang "Ang {{mvar|F}} ay pangkat ng lahat ng bilang {{mvar|n}} kung saan {{mvar|n}} ay buumbilang nasa interbalo mula sa 0 hanggang sa 19, inklusibo". Gumagamit ang ilang mga awtor ng isang [[tutuldok]] imbes na bertikal na harang.

== Pagkamiyembro ==
{{main|Elemento (matematika)}}

Kung ang {{mvar|B}} ay isang pangkat at ang {{mvar|x}} ay isang elemento ng {{mvar|B}}, ito ay sinusulat sa maikling anyo bilang {{math|''x'' ∈ ''B''}}, na nababasa bilang "kinabilangan ng ''x'' ang ''B''", o "ang ''x'' ay nasa ''B''". Ang sabing "ang ''y'' hindi ay elemento sa ''B''" ay sinusulat bilang {{math|''y'' ∉ ''B''}}, na nababasa bilang "''y'' hindi ay nasa ''B''".

Halimbawa, tungkol sa mga pangkat ng {{math|1=''A'' = {{mset|1, 2, 3, 4}}}}, {{math|1=''B'' = {{mset|asul, puti, pula}}}}, and {{math|1=''F'' = {{mset|''n'' | ang ''n'' ay buumbilang, at 0 ≤ ''n'' ≤ 19}}}},
{{block indent|{{math|4 ∈ ''A''}} at {{math|12 ∈ ''F''}}; at}}
{{block indent|{{math|20 ∉ ''F''}} and {{math|berde ∉ ''B''}}.}}

== Basyong pangkat ==
{{main|Basyong pangkat}}

Ang ''basyong pangkat'' ay nag-iisang pangkat na wala mga miyembro. Sinusulat {{math|∅}} o <math>\emptyset</math> o {{mset|&nbsp;}} o {{math|ϕ}} o (or {{mvar|ϕ}}).

== Mga subpangkat ==
{{main|Subpangkat}}

Kung ang bawa't isang elemento ng pangkat ng ''A'' ay din nasa ''B'', inilalarawan na ''A'' bilang isang ''subpangkat ng B'', o ''sinasaklaw sa B'', na sinusulat ''A'' ⊆ ''B'', o ''B'' ⊇ ''A''. Nababasa ang huli na ''Sumasaklaw ang B ng A,'' ''Isinasama ng A ang B'', o ''Ang B ay superpangkat ng A''. Ang [[Kaugnayan (matematika)|kaugnayan]] ng mga pangkat ay tinatawag na ''pagkakasama'' o ''saklaw''. Katumbas ang dalawang pangkat kung sumasaklaw ng isa't isa: kung ''A'' ⊆ ''B'' at ''B'' ⊆ ''A'', ay katumbas sa ''A'' = ''B''.

Kung ang ''A'' ay subpangkat ng ''B'', pero ang ''A'' hindi ay katumbas sa ''B'', ang ''A'' ay tinatawag isang ''angkop na subpangkat ng B''. Naisusulat ito na ''A'' ⊊ ''B''. Gayon din ang ''B'' ⊋ ''A'' ay nangangahulugan na ''Ang B ay angkop na superpangkat ng A''. Kumbaga, sumasaklaw ang ''B'' ang ''A'', at hindi ay katumbas sa ''A''.

Ang pangatlong pares ng mga operador ⊂ at ⊃ ay kakaibang ginagawit ng kakaibang mga awtor: gumamit ang ilang mga awtor ng ''A'' ⊂ ''B'' at ''B'' ⊃ ''A'' para ibig sabihin na ang ''A'' ay anumang subpangkat ng ''B'' (at hindi naman kailangan isang angkop na superpangkat), habang inilalaan ng ibang mga awtor para mga kaso kung saan ''A'' ay angkop na subpangkat ng ''B''.

Mga halimbawa:
* Ang pangkat ng lahat ng mga [[tao]] ay isang angkop na subpangkat ng pangkat ng lahat ng [[mamalya]].
* {{mset|1, 3}} ⊂ {{mset|1, 2, 3, 4}}.
* {{mset|1, 2, 3, 4}} ⊆ {{mset|1, 2, 3, 4}}.

Ang basyong pangkat ay subpangkat ng bawa't isang pangkat, at ang bawa't isang pangkat ay subpangkat ng mismo:
* ∅ ⊆ ''A''.
* ''A'' ⊆ ''A''.

== Mga natatanging pangkat ng mga bilang sa matematika ==
[[File:NumberSetinC.svg|thumb|Ang mga [[likas na bilang]] <math>\mathbb{N}</math> ay sinasaklaw sa mga [[buumbilang]] <math>\mathbb{Z}</math>, na sinasaklaw sa mga [[makatwirang bilang]] <math>\mathbb{Q}</math>, na sinasaklaw sa mga [[tunay na bilang]] <math>\mathbb{R}</math>, na sinasaklaw sa mga [[komplikadong bilang]] <math>\mathbb{C}</math>.]]

Napakahahalagang ang ilang mga pangkat sa matematika, kaya ang mga [[matematiko]] madalas na tinutukoy ang mga ito, kaya nagtamo ang ganyang mga pangkat ng mga natatanging pangalan at kaugalian para kumilala ng mga ito.

Ang mga itong mahahalagang pangkat ay kinakatawan sa mga tekstong matematikal sa '''bold''' (e.g. <math>\mathbf  Z</math>) o '''bold pampisara''' ({{lang-en|blackboard bold}}, e.g. <math>\mathbb Z</math>).<ref name="Tourlakis2003">{{cite book|author=George Tourlakis|title=Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory|url=https://books.google.com/books?id=nparMXao59QC&pg=PA137|date=13 February 2003|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-139-43943-5|pages=137|lang=en}}</ref> Sumasaklaw:

* <math>\mathbf  N</math> o <math>\mathbb N</math>, ang pangkat ng lahat ng mga [[likas na bilang]]: <math>\mathbf  N=\{0,1,2,3,...\}</math> (madalas na pinapalayas ng mga awtor ang {{math|0}});<ref name="Tourlakis2003"/>
* <math>\mathbf  Z</math> o <math>\mathbb Z</math>, ang pangkat ng lahat ng mga [[buumbilang]] (kung positibo, negatibo o sero): <math>\mathbf  Z=\{...,-2,-1,0,1,2,3,...\}</math>;<ref name="Tourlakis2003"/>
* <math>\mathbf  Q</math> o <math>\mathbb Q</math>, ang pangkat ng lahat ng mga [[makatwirang bilang]] (kumbaga, ang pangkat ng lahat ng [[hatimbilang]], parehong angkop at hindi angkop): <math>\mathbf  Q=\left\{\frac {a}{b}\mid a,b\in\mathbf  Z,b\ne0\right\}</math>. Halimbawa, {{math|&minus;{{sfrac|7|4}} ∈ '''Q'''}} at {{math|5 {{=}} {{sfrac|5|1}} ∈ '''Q'''}};<ref name="Tourlakis2003"/>
* <math>\mathbf  R</math> o <math>\mathbb R</math>, ang pangkat ng lahat ng mga [[tunay na bilang]], na sumusuklaw ng lahat ng makatwirang bilang at lahat ng [[hindi makatwirang bilang]] (na sumusuklaw ng mga [[alhebraikong bilang]] tulad ng <math>\sqrt2</math> na hindi naisusulat bilang mga hatimbilang, at saka mga [[transendental na bilang]] tulad ng [[Pi|{{mvar|π}}]] and [[e (konstanteng matematikal)|{{math|''e''}}]]);<ref name="Tourlakis2003"/>
* <math>\mathbf  C</math> o <math>\mathbb C</math>, ang pangkat ng lahat ng mga [[komplikadong bilang]]: {{math|1='''C''' = {{mset|''a'' + ''bi'' | ''a'', ''b'' ∈ '''R'''}}}}, halimbawa, {{math|1 + 2''i'' ∈ '''C'''}}.<ref name="Tourlakis2003"/>

Ang bawa't isang pangkat sa itaas ay may mga elemento na walang hangganan. Ang bawa't isa ay subpangkat ng mga pangkat na itinatala sa ilalim.

Ang mga pangkat ng mga positibo o negatibong bilang ay minsan na ipinapahiwatig ng <sup>+</sup> at <sup>-</sup>. Halimbawa, kinakatawan ng <math>\mathbf{Q}^+</math> ang pangkat ng mga positibong makatwirang bilang.

== Mga punsiyon ==
Ang isang ''[[Punsiyon (matematika)|punsiyon]]'' (o ''[[Mapa (matematika)|pagmamapa]]'') mula sa isang pangkat ng {{mvar|A}} hanggang sa isang pangkat ng {{mvar|B}} ay panuntunan na nagtatalaga sa bawa't isang elementong "input" ng {{mvar|A}} ng isang "output" na ay isang elemento ng {{mvar|B}}. Mas pormal na, isang punsiyon ay natatanging uri ng [[Kaugnayan (matematika)|kaugnayan]], isa na nag-uugnay ng bawa't isang elemento ng {{mvar|A}} sa ''eksakto na isang'' elemento ng {{mvar|B}}. Ang isang punsiyon ay tinatawag na:

* [[inyektibo]] kung nagmamapa anumang dalawang kakaibang elemento ng {{mvar|A}} sa ''kakaibang'' mga elemento ng {{mvar|B}},
* [[suryektibo]] kung para bawa't isang elemento ng {{mvar|B}}, may kahit isa lang elemento ng {{mvar|A}} na nagmamapa sa ito, at
* [[biyektibo]] kung ang punsiyon ay parehong inyektibo at suryektibo — sa itong kaso, bawa't isang elemento ng {{mvar|A}} ay inirereto sa nag-iisang elemento ng {{mvar|B}}, at bawa't isang elemento ng {{mvar|B}} ay inirereto sa nag-iisang elemento ng {{mvar|A}}, kaya walang elemento na walang kapares.

Ang isang inyektibong punsiyon ay tinatawag na isang ''inyeksiyon'', ang isang suryektibong punsiyon ay tinatawag na isang ''suryeksiyon'', at ang isang biyektibong punsiyon ay tinatawag na isang ''biyeksiyon'' o ''isa-sa-isang tugma''.

== Kardinalidad ==
{{main|Kardinalidad}}

Ang kardinalidad ng isang pangkat ng {{math|''S''}}, na sinusulat na {{math|{{mabs|''S''}}}}, ay dami ng mga miyembro ng {{math|''S''}}. Halimbawa, kung {{mset|asul, puti, pula}}}}, ang kardinalidad ay 3: {{math|1={{mabs|B}} = 3}}. Sa notasyong pantala, ang mga miyembro na inuulit hindi ay ibinibilang, kaya {{math|1={{mabs|{{mset|asul, puti, pula, asul, puti}}}} = 3}} din.

Mas pormal na, nagkakaroon ang dalawang pangkat ng parehong kardinalidad kung may isa-sa-isang tugma sa pagitan ng nila.

Ang kardinalidad ng basyong pangkat ay sero.

== Mga kapangyarihang pangkat ==
{{main|Kapangyarihang pangkat}}

Ang kapangyarihang pangkat ng isang pangkat ng {{math|''S''}} ay pangkat ng lahat ng mga [[subpangkat]] ng {{math|''S''}}. Ang [[basyong pangkat]] at {{math|''S''}} mismo ay mga elemento ng kapangyarihang pangkat ng {{math|''S''}}, dahil sila ay parehong mga subpangkat ng {{math|''S''}}. Halimbawa, ang kapangyarihang pangkat ng {{math|{{mset|1, 2, 3}}}} ay {{math|{{mset|∅, {{mset|1}}, {{mset|2}}, {{mset|3}}, {{mset|1, 2}}, {{mset|1, 3}}, {{mset|2, 3}}, {{mset|1, 2, 3}}}}}}. Ang kapangyarihang pangkat ng isang pangkat ng {{math|''S''}} ay madalas na isinusulat na {{math|''P''(''S'')}} o {{math|2{{sup|''S''}}}}.

Kung nagkakaroon ang {{math|''S''}} ng {{math|''n''}} elemento, nagkakaroon ang {{math|''P''(''S'')}} ng {{math|2{{sup|''n''}}}} elemento. Halimbawa, nagkakaroon ang {{math|{{mset|1, 2, 3}}}} ng tatlong elemento, at nagkakaroon ang kaniyang kapangyarihang pangkat ng {{math|2{{sup|3}} {{=}} 8}} elemento, bilang ipinakita sa itaas.

Kung ang {{math|''S''}} ay impinito (kung naililista o hindi), ang {{math|''P''(''S'')}} hindi ay naililista. Saka, laging "mas malaki" ang kapangyarihang pangkat kaysa sa orihinal na pangkat, sa muwang na ang anumang tangka para parisan ang mga elemento ng {{math|''S''}} sa mga elemento ng {{math|''P''(''S'')}} ay mag-iiwan ng ilang mga elemento ng {{math|''P''(''S'')}} na walang pares. (Hindi kailanman may isang [[biyeksiyon]] mula sa {{math|''S''}} hanggang sa {{math|''P''(''S'')}}.)

== Mga partisyon ==
{{main|Partisyon ng isang pangkat}}

Ang isang partisyon ng isang pangkat ng {{math|''S''}} ay isang pangkat ng mga di-basyong pangkat ng {{math|''S''}}, kung saan bawa't isang {{math|''x''}} nasa {{math|''S''}} ay nasa eksakto isa sa mga ito subpangkat.

== Mga basikong operasyon ==
{{main|Alhebra ng mga pangkat}}
{{also|Teorya ng pangkat}}

== Mga aplikasyon ==
Nasa lahat ng dako ng makabagong matematika ang mga pangkat. Halimbawa, ang mga [[alhebraikong istruktura]] sa [[alhebrang basal]], tulad ng mga [[Grupo (matematika)|grupo]], [[Kampo (matematika)|kampo]], at [[Singsing (matematika)|singsing]], ay [[Pagkakasara (matematika)|nakasarang]] pangkat sa ilalim ng isa o higit pang mga [[Operasyon (matematika)|operasyon]].

Ang isa sa pangunahing mga aplikasyon sa intuitibong teorya ng pangkat ay konstruksiyon ng mga [[Kaugnayan (matematika)|kaugnayan]]. Ang isang kaugnayan mula sa isang [[Sakop (matematika)|sakop]] ng {{math|''A''}} hanggang sa [[kasakop]] ng {{math|''B''}} ay subpangkat ng [[produktong Cartesian]]g {{math|''A'' × ''B''}}. Halimbawa, pagdating sa pangkat ng {{math|''S'' {{=}} {{mset|papel, gunting, bato}}}} ng mga [[hugis]] sa [[papel, gunting, bato|laro]] ng mismong pangalan, ang kaugnayang "tumatalo" mula sa {{math|''S''}} hanggang sa {{math|''S''}} ay pangkat ng {{math|''B'' {{=}} {{mset|(papel,bato), (gunting,papel), (bato,gunting)}}}}. Kaya tumatalo ang {{math|''x''}} ng {{math|''y''}} sa laro kung ang pares ng {{math|(''x'',''y'')}} ay miyembro ng {{math|''B''}}. Ang ibang halimbawa ay pangkat ng {{math|''F''}} ng lahat ng mga pares ng {{math|(''x'', ''x''{{sup|2}})}}, where {{math|''x''}} ay tunay. Ang itong kaugnayan ay isang subpangkat ng {{math|'''R''' × '''R'''}}, kasi ang pangkat ng lahat ng mga [[parirami]] ay isang subpangkat ng pangkat ng lahat ng [[tunay na bilang]]. Dahil para bawa't isang {{math|''x''}} sa {{math|'''R'''}}, may isa at lang isang pares {{math|(''x'',...)}} sa {{math|''F''}}, ang itong kaugnayan ay tinatawag na isang [[Punsiyon (matematika)|punsiyon]]. Sa notasyong pampunsiyon, ang itong kaugnayan ay nasusulat na {{math|''F''(''x'') {{=}} ''x''{{sup|2}}}}.

== Prinsipyo ng ingklusyon at eksklusyon ==
{{main|Prinsipyo ng ingklusyon at eksklusyon}}

== Mga sanggunian ==
{{reflist}}

{{Stub|Matematika}}

[[Kategorya:Teoriya ng pangkat| ]]