Tingnan ang wikitext ng Punsiyonal na pariugat

{{lito|Ugat ng punsiyon}}

Sa [[matematika]], ang isang '''punsiyonal na pariugat''' (minsan tinatawag na isang '''kalahating iterasyon''') ay isang [[pariugat]] ng isang [[punsiyon (matematika)|punsiyon]]g may respeto sa operasyon ng [[komposisyong pangbunin]]. Sa ibang salita, ang isang punsiyonal na pariugat ng isang punsiyong {{math| ''g''}} ay isang punsiyong {{math|''f''}} na natutugunan ng {{math|1=''f''(''f''(''x'')) = ''g''(''x'')}} [[para sa lahat ng]] {{math|''x''}}.

== Notasyon ==
Ang mga notasyong ipinahahayag na ang {{math|''f''}} ay isang punsiyonal na pariugat ng {{math|''g''}} ay {{math|1=''f'' = ''g''<sub>[1/2]</sub>}} at {{math|1=''f'' = ''g''<sub>1/2</sub>}}.{{citation needed|date=Agosto 2020}}

== Kasaysayan ==
* Ang punsiyonal na pariugat ng [[eksponensiyal na punsiyon]] (ngayong kilala bilang [[kalahating eksponensiyal na punsiyon]]) ay sinuri ni [[Hellmuth Kneser]] noong 1950.<ref name="sqrtexp">{{cite journal
|author=Kneser, H. |author-link=Hellmuth Kneser
|title=Reelle analytische Lösungen der Gleichung ''&phi;''(''&phi;''(''x''))&nbsp;=&nbsp;''e''<sup>''x''</sup> und verwandter Funktionalgleichungen
|journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002175851
|volume=187
|year=1950
|pages=56&ndash;67|doi=10.1515/crll.1950.187.56
|s2cid=118114436
|lang=de
}}
</ref>
* Ang mga kalutasan ng {{math|1=''f''(''f''(''x'')) = ''x''}} sa loob ng <math>\mathbb{R}</math> (mga [[imbolusyon (matematika)|imbolusyon]] ng mga [[tunay na bilang]]) ay unang sinuri ni [[Charles Babbage]] noong 1815, at tinatawag ang itong ekwasyon na [[punsiyonal na ekwasyon]] ni Babbage.<ref>[[Jeremy Gray]] and [[Karen Parshall]] (2007) ''Episodes in the History of Modern Algebra (1800–1950)'', [[American Mathematical Society]], {{ISBN|978-0-8218-4343-7}} (sa wikang Ingles)</ref> Ang isang partikular na kalutasan ay {{math|1=''f''(''x'') = (''b'' − ''x'')/(1 + ''cx'')}} para sa {{math|''bc'' ≠ −1}}. Itinala ni Babbage na para sa anumang kalutasang {{math|''f''}}, ang kaniyang [[topolohikal na pagkakonhugado|punsiyonal na konhugado]]ng {{math|Ψ<sup>−1</sup>∘ ''f'' ∘{{space|hair}}Ψ}}, sa pamamagitan ng isang arbitraryong [[inbersong punsiyon|inbertible]]ng punsiyong na {{math|Ψ}} ay rin isang kalutasan. Sa ibang salita, ang [[grupo (matematika)|grupo]] ng lahat ng inbertibleng punsiyon sa tunay na [[guhit ng bilang|guhit]] ay [[Gawang panggrupo|gumagawa]] sa subpangkat na kinabibilangan ng mga kalutasan para sa punsiyonal na ekwasyon ni Babbage sa pamamagitan ng [[Klase ng pagkakonhugado|konhugasyon]].

== Mga kalutasan ==
Ang isang sistematikong pamamalakad, para gumawa ng mga ''arbitraryong'' punsiyonal na mga {{mvar|''n''}}-[[ugat (matematika)|ugat]] (kabilang sa mga arbitraryong tunay, negatibo, at impinitesimal na {{mvar|''n''}}) para sa mga punsiyong <math>g: \mathbb{C}\rarr \mathbb{C}</math>, ay umaasa ng mga kalutasan ng [[ekwasyon ni Schröder]].<ref name="schr">{{cite journal |author=Schröder, E. |author-link=Ernst Schröder (mathematician) |year=1870 |title=Ueber iterirte Functionen|journal=Mathematische Annalen |volume=3 |issue= 2|pages=296&ndash;322 | doi=10.1007/BF01443992 |s2cid=116998358 |url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002240998 |lang=de }}</ref><ref>{{cite journal |author=Szekeres, G.|author-link=George Szekeres| year=1958|title=Regular iteration of real and complex functions |journal=Acta Mathematica |volume=100|issue=3–4 |pages=361–376 |doi= 10.1007/BF02559539 |doi-access=free |lang=en }}</ref><ref>{{cite journal |author= Curtright, T.|author-link= Thomas Curtright| year= 2011|author2=Zachos, C. |author-link2=Cosmas Zachos|author3=Jin, X. |title=Approximate solutions of functional equations |journal= Journal of Physics A |volume= 44|issue= 40 |pages= 405205|doi=10.1088/1751-8113/44/40/405205|arxiv=1105.3664|bibcode=2011JPhA...44N5205C|s2cid= 119142727 |lang=en}}</ref> May isang [[impinidad]] ng mga [[tribiyalidad (matematika)|tribiyal na]] kalutasan kapag ang [[sakop (matematika)|sakop]] ng isang ugat na punsiyong {{mvar|f}} ay puwedeng sapat na mas malaki kaysa sa sakop ng {{mvar|g}}.

== Mga halimbawa ==
* Ang {{math|1=''f''(''x'') = 2''x''<sup>2</sup>}} ay isang punsiyonal na pariugat ng {{math|1=''g''(''x'') = 8''x''<sup>4</sup>}}.
* Ang isang punsiyonal na pariugat ng ika-{{mvar|n}} [[polynomial ni Chebyshev]], {{math|1=''g''(''x'') = ''T''<sub>''n''</sub>(''x'')}}, ay {{math|1=''f''(''x'') = cos({{radical|''n''}} arccos(''x''))}}, na sa pangkahalatan hindi ay isang [[polynomial]].
* Ang {{math|1=''f''(''x'') = ''x''/({{radical|2}} + ''x''(1 − {{radical|2}}))}} ay isang punsiyonal na pariugat ng {{math|1=''g''(''x'') = ''x''/(2 − ''x'')}}.

[[File:Sine_iterations.svg|center|thumb|680px|
[[Punsiyong iterado|Mga iterasyon]] ng [[Sine|punsiyong sine]] (<span style="color:blue">asul</span>), sa unang kalahating [[Punsiyong peryodiko|peryodo]]. Ang kalahating iterasyon (<span style="color:orange">kahel</span>), i.e., ang punsiyonal na pariugat ng sine; ang punsiyonal na pariugat ng iyon, ang sangkapat na iterasyon (itim) sa itaas, at saka mga praksiyonal na iterasyon hanggang sa {{frac|64}}. Ang mga punsiyon sa ilalim ng sine ay anim na integral na iterasyon sa ilalim, na nagsisimula sa pangalawang iterasyon (<span style="color:red">pula</span>) at nagwawakas sa pang-64 na iterasyon. Ang <span style="color:green">berdeng</span> tatsulok na kinukubkob ay kumakatawan ng iterasyong nililimitahang ''null''. Ang punsiyong ''sawtooth'' ay nagsisilbi bilang puntong simula na nagdudulot ng punsiyong sine. Ang gatlang na guhit ay negatibong unang iterasyon, kumbaga, ang [[inbersong punsiyon|inberso]] ng sine ([[arcsin]]).]]

:{{math|sin<sub>[2]</sub>(''x'') {{=}} sin(sin(''x''))}} [<span style="color:red">pulang</span> [[kurba]]]
:{{math|sin<sub>[1]</sub>(''x'') {{=}} sin(''x'') {{=}} rin(rin(''x''))}} [<span style="color:blue">asul</span> na kurba]
:{{math|sin<sub>[{{sfrac|1|2}}]</sub>(''x'') {{=}} rin(''x'') {{=}} qin(qin(''x''))}} [<span style="color:orange">kahel</span> na kurba]
:{{math|sin<sub>[{{sfrac|1|4}}]</sub>(''x'') {{=}} qin(''x'')}} [itim na kurba sa itaas ng kahel na kurba]
:{{math|sin<sub>[–1]</sub>(''x'') {{=}} arcsin(''x'')}} [gatlang na kurba]

(Tingnan ang<ref>Curtright, T.&nbsp;L. [http://www.physics.miami.edu/~curtright/Schroeder.html Evolution surfaces and Schröder functional methods] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141030005609/http://www.physics.miami.edu/~curtright/Schroeder.html |date=2014-10-30 }}. (sa wikang Ingles)</ref>. Para sa notasyon, tingnan ang [http://www.physics.miami.edu/~curtright/TheRootsOfSin.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20221205032857/http://www.physics.miami.edu/~curtright/TheRootsOfSin.pdf |date=2022-12-05 }}.)

== Mga sanggunian ==
{{reflist}}

== Tingnan din ==
{{div col|colwidth=22em}}
* [[Punsiyong iterado]] ({{lang-en|Iterated function}})
* [[Komposisyong pangbunin]] ({{lang-en|Function composition}})
* [[Ekwasyon ni Abel]] ({{lang-en|Abel equation}})
* [[Ekwasyon ni Schröder]] ({{lang-en|Schröder's equation}})
* [[Agos (matematika)]] ({{lang-en|Flow (mathematics)}})
* [[Superpunsiyon]] ({{lang-en|Superfunction}})
* [[Praksiyonal na kalkulo]] ({{lang-en|Fractional calculus}})
* [[Kalahating eksponensiyal na punsiyon]] ({{lang-en|Half-exponential function}})
{{div col end}}

{{Stub|Matematika}}

[[Kategorya:Punsiyonal na analisis]]