Tingnan ang wikitext ng Tensor ni Einstein

Sa [[diperensiyal na heometriya]], ang '''tensor ni Einstein'''(Einstein tensor o trace-reversed Ricci tensor), na ipinangalan kay [[Albert Einstein]] ay ginagamit upang ihayag ang [[kurba (heometriya)|kurbada]] ng [[manipoldong Riemannian]]. Sa [[pangkalahatang relatibidad]], ang tensor ni Einstein ay nakikita sa [[mga ekwasyong field ni Einstein]] ng [[grabitasyon]] na naglalarawan ng kurbada ng [[espasyo-oras]] na konsistente sa mga konsiderasyong [[enerhiya]].

==Depinisyon==
Ang tensor ni Einstein na <math>\mathbf{G}</math> ay isang ika-dalawang ranggong [[tensor]] na inilalarawan sa ibabaw ng mga [[manipoldong Riemannian]].  Sa isang walang indeks na notasyon, ito ay inilalarawan na: 
::<math>\mathbf{G}=\mathbf{R}-\frac{1}{2}\mathbf{g}R,</math>

kung saan ang <math>\mathbf{R}</math> ang [[tensor ni Ricci]], ang <math>\mathbf{g}</math> ang [[metrikong tensor]] at ang <math>R</math> ang [[skalar na kurbada]]. Sa anyong bahagi(component), ang nakaraang [[ekwasyon]] ay binabasa bilang:  

::<math>G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - {1\over2} g_{\mu\nu}R.</math>

Ang tensor ni Einstein ay simetriko

::<math>G_{\mu\nu} = G_{\nu\mu}\,</math>

at gaya ng [[tensor na stress-enerhiya]], ito ay walang [[diberhensiya (matematika)|diberhensiya]]
::<math>G^{\mu\nu}{}_{; \nu} = 0\,.</math>

==Eksplisitong anyo==
Ang [[tensor ni Ricci]] ay nakasalalay lamang sa [[metrikong tensor]] kaya ang tensor ni Einstein ay maaaring direktang ilarawan sa metrikong tensor lamang. Gayunpaman, ang ekspresiyong ito ay masalimuot(complex) at bihirang sinisipi sa mga aklat. Ang kompleksidad ng ekspresiyong ito ay maaaring ipakita gamit ang pormula ng [[tensor ni Ricci]] sa mga termino ng mga [[simbolong Christoffe]]:

::<math>
\begin{align}
G_{\alpha\beta} &= R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} R \\
&= R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} g^{\gamma\zeta} R_{\gamma\zeta} \\
&= (\delta^\gamma_\alpha \delta^\zeta_\beta - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta}g^{\gamma\zeta}) R_{\gamma\zeta} \\
&= (\delta^\gamma_\alpha \delta^\zeta_\beta - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta}g^{\gamma\zeta})(\Gamma^\epsilon_{\gamma\zeta,\epsilon} - \Gamma^\epsilon_{\gamma\epsilon,\zeta} + \Gamma^\epsilon_{\epsilon\sigma} \Gamma^\sigma_{\gamma\zeta} - \Gamma^\epsilon_{\zeta\sigma} \Gamma^\sigma_{\epsilon\gamma}),
\end{align}
</math>

kung saan ang <math>\delta^\alpha_\beta</math> ang [[tensor na Kronecker]] at ang simbolongChristoffel na <math>\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}</math> ay inilalarawan bilang:

::<math>\Gamma^\alpha_{\beta\gamma} = \frac{1}{2} g^{\alpha\epsilon}(g_{\beta\epsilon,\gamma} + g_{\gamma\epsilon,\beta} - g_{\beta\gamma,\epsilon}).</math>

Bago ang mga kanselasyon, ang pormulang ito ay nagreresulta sa <math>2 \times (6+6+9+9) = 60</math> mga indibidwal na mga termino. Ang mga kanselasyon ay nagpapaliit sa bilang na ito kahit papaano.

Sa isang espesyal na kaso ng lokal na [[inersiyal na reperensiyang balangkas]] malapit sa isang punto, ang unang mga [[deribatibo]] ng [[metrikong tensor]] ay naglalaho at ang bahaging anyo ng tensor ni Einstein ay labis na napapasimple: 

:: <math>\begin{align}G_{\alpha\beta} & = g^{\gamma\mu}\bigl[ g_{\gamma[\beta,\mu]\alpha} + g_{\alpha[\mu,\beta]\gamma} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} g^{\epsilon\sigma} (g_{\epsilon[\mu,\sigma]\gamma} + g_{\gamma[\sigma,\mu]\epsilon})\bigr] \\ & = g^{\gamma\mu} (\delta^\epsilon_\alpha \delta^\sigma_\beta - \frac{1}{2} g^{\epsilon\sigma}g_{\alpha\beta})(g_{\epsilon[\mu,\sigma]\gamma} + g_{\gamma[\sigma,\mu]\epsilon}),\end{align}</math>

kung saan ang mga kwadradong [[braket]] ay konbensiyonal na tumutukoy sa [[antisimetrikong tensor|antisimetrisasyon]] sa ibabaw ng mga nakabraket na indeks.


:: <math>g_{\alpha[\beta,\gamma]\epsilon} \, = \frac{1}{2} (g_{\alpha\beta,\gamma\epsilon} - g_{\alpha\gamma,\beta\epsilon}).</math>

== Trace ==
Ang [[trace (linyar na alhebra)|trace]] ng tensor ni Einstein ay maaaring kwentahin sa pamamagitan ng [[konstraksiyon ng tensor|pagpapaliit]] ng [[ekwasyon]] sa depinisyon ng [[metrikong tensor]] na 
<math>g^{\mu\nu}</math>. Sa mga <math>n</math> na dimensiyon (ng arbitraryong signatura):

::<math>\begin{align}g^{\mu\nu}G_{\mu\nu} &= g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - {1\over2} g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R \\ G &= R - {1\over2} (nR) \\ G &= {{2-n}\over2}R\end{align}</math>

Sa espesyal na kaso ng 4 na mga dimensiyon sa pisika([[tatlong dimensiyon|3 espasyo]] at 1 oras), ang <math>G\,</math> na trace ng tensor ni Einstein ay ibinibigay bilang negatibo ng <math>R\,</math> na trace ng [[tensor ni Ricci]]. Dahil dito, ang tensor ni Einstein ay tinatawag ding ''trace-reversed Ricci tensor''.

==Gamit sa pangkalahatang relatibidad ==
Ang tensor ni Einstein ay pumapayag sa [[mga ekwasyong field ni Einstein]](na walang [[konstanteng kosmolohikal]]) na maisulat sa isang maiksing anyo:

::<math>G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}.</math>

na nagiging:

::<math>G_{\mu\nu} = 8 \pi \, T_{\mu\nu}.</math>

sa heometrikang unit. 

Mula sa eksplisitong anyo ng tensor ni Einstein, ang tensor ni Einstein ay isang hindi linyar na [[punsiyon]] ng [[metrikong tensor]] ngunit linyar sa ikalawang [[parsiyal na deribatibo]] ng metriko. Bilang simetrikong ikalawang ranggong tensor, ang [[mga ekwasyong field ni Einstein]] ay isang hanay ng 10 kwasilinear na ikalawang order na mga [[parsiyal diperensiyal na ekwasyon]] para sa metrikong tensor. 

Ang mga [[indentidad ni Bianchi]] ay madali ring maihahayag sa tulong ng tensor ni Einstein: 

::<math> \nabla_{\mu} G^{\mu\nu} = 0.</math>

Ang mga indentidad ni Bianchi ay automatikong sumisiguro sa konserbasyon ng [[tensor na stress-enerhiya]] sa mga kurbadong oras-espasyo:

::<math>\nabla_{\mu} T^{\mu\nu} = 0.</math>

Ang [[heometriya|heometrikong]] kahalagahan ng mga tensor ni Einstein ay binibigyang diin ng identidad na ito. Sa mga balangkas koordinado na rumirespeto sa kondisyong gauge

::<math>\Gamma^{\rho}_{\mu\nu} G^{\mu\nu} = 0</math>

ang eksaktong batas konserbasyon para sa [[densidad]] ng [[tensor]] na [[stress (pisika)|stress]] ay maaaring ihayag na: 

::<math>\partial_{\mu}(\sqrt{g} T^{\mu\nu}) = 0</math>.
Ang tensor ni Einstein gumaganap ng papel ng pagbubukod sa mga balangkas(frames) na ito. 

[[Kategorya:Mga tensor]]
[[Kategorya:Pangkalahatang relatibidad]]