Tensor ni Einstein

Sa diperensiyal na heometriya, ang tensor ni Einstein(Einstein tensor o trace-reversed Ricci tensor), na ipinangalan kay Albert Einstein ay ginagamit upang ihayag ang kurbada ng manipoldong Riemannian. Sa pangkalahatang relatibidad, ang tensor ni Einstein ay nakikita sa mga ekwasyong field ni Einstein ng grabitasyon na naglalarawan ng kurbada ng espasyo-oras na konsistente sa mga konsiderasyong enerhiya.

Depinisyon

Ang tensor ni Einstein na $𝐆$ ay isang ika-dalawang ranggong tensor na inilalarawan sa ibabaw ng mga manipoldong Riemannian. Sa isang walang indeks na notasyon, ito ay inilalarawan na:

$𝐆=𝐑-\frac{1}{2}𝐠R,$

kung saan ang $𝐑$ ang tensor ni Ricci, ang $𝐠$ ang metrikong tensor at ang $R$ ang skalar na kurbada. Sa anyong bahagi(component), ang nakaraang ekwasyon ay binabasa bilang:

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R.$

Ang tensor ni Einstein ay simetriko

$G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }$

at gaya ng tensor na stress-enerhiya, ito ay walang diberhensiya

$G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0.$

Eksplisitong anyo

Ang tensor ni Ricci ay nakasalalay lamang sa metrikong tensor kaya ang tensor ni Einstein ay maaaring direktang ilarawan sa metrikong tensor lamang. Gayunpaman, ang ekspresiyong ito ay masalimuot(complex) at bihirang sinisipi sa mga aklat. Ang kompleksidad ng ekspresiyong ito ay maaaring ipakita gamit ang pormula ng tensor ni Ricci sa mga termino ng mga simbolong Christoffe:

$\begin{array}{cc}{G}_{\alpha \beta }& =R_{\alpha \beta }-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }R\\ & =R_{\alpha \beta }-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{g}^{\gamma \zeta }{R}_{\gamma \zeta }\\ & =({\delta }_{\alpha }^{\gamma }{\delta }_{\beta }^{\zeta }-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{g}^{\gamma \zeta })R_{\gamma \zeta }\\ & =({\delta }_{\alpha }^{\gamma }{\delta }_{\beta }^{\zeta }-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{g}^{\gamma \zeta })({\mathrm{\Gamma }}_{\gamma \zeta ,ϵ}^{ϵ}-{\mathrm{\Gamma }}_{\gamma ϵ,\zeta }^{ϵ}+{\mathrm{\Gamma }}_{ϵ\sigma }^{ϵ}{\mathrm{\Gamma }}_{\gamma \zeta }^{\sigma }-{\mathrm{\Gamma }}_{\zeta \sigma }^{ϵ}{\mathrm{\Gamma }}_{ϵ\gamma }^{\sigma }),\end{array}$

kung saan ang ${\delta }_{\beta }^{\alpha }$ ang tensor na Kronecker at ang simbolongChristoffel na ${\mathrm{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }$ ay inilalarawan bilang:

${\mathrm{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=\frac{1}{2}{g}^{\alpha ϵ}(g_{\beta ϵ,\gamma }+g_{\gamma ϵ,\beta }-g_{\beta \gamma ,ϵ}).$

Bago ang mga kanselasyon, ang pormulang ito ay nagreresulta sa $2\times (6+6+9+9)=60$ mga indibidwal na mga termino. Ang mga kanselasyon ay nagpapaliit sa bilang na ito kahit papaano.

Sa isang espesyal na kaso ng lokal na inersiyal na reperensiyang balangkas malapit sa isang punto, ang unang mga deribatibo ng metrikong tensor ay naglalaho at ang bahaging anyo ng tensor ni Einstein ay labis na napapasimple:

$\begin{array}{cc}{G}_{\alpha \beta }& =g^{\gamma \mu }[g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{g}^{ϵ\sigma }(g_{ϵ[\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]ϵ})]\\ & =g^{\gamma \mu }({\delta }_{\alpha }^{ϵ}{\delta }_{\beta }^{\sigma }-\frac{1}{2}{g}^{ϵ\sigma }{g}_{\alpha \beta })(g_{ϵ[\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]ϵ}),\end{array}$

kung saan ang mga kwadradong braket ay konbensiyonal na tumutukoy sa antisimetrisasyon sa ibabaw ng mga nakabraket na indeks.

$g_{\alpha [\beta ,\gamma ]ϵ}=\frac{1}{2}(g_{\alpha \beta ,\gamma ϵ}-g_{\alpha \gamma ,\beta ϵ}).$

Trace

Ang trace ng tensor ni Einstein ay maaaring kwentahin sa pamamagitan ng pagpapaliit ng ekwasyon sa depinisyon ng metrikong tensor na $g^{\mu \nu }$. Sa mga $n$ na dimensiyon (ng arbitraryong signatura):

$\begin{array}{cc}{g}^{\mu \nu }{G}_{\mu \nu }& =g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}^{\mu \nu }{g}_{\mu \nu }R\\ G& =R-\frac{1}{2}(nR)\\ G& =\frac{2-n}{2}R\end{array}$

Sa espesyal na kaso ng 4 na mga dimensiyon sa pisika(3 espasyo at 1 oras), ang $G$ na trace ng tensor ni Einstein ay ibinibigay bilang negatibo ng $R$ na trace ng tensor ni Ricci. Dahil dito, ang tensor ni Einstein ay tinatawag ding trace-reversed Ricci tensor.

Gamit sa pangkalahatang relatibidad

Ang tensor ni Einstein ay pumapayag sa mga ekwasyong field ni Einstein(na walang konstanteng kosmolohikal) na maisulat sa isang maiksing anyo:

$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }.$

na nagiging:

$G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }.$

sa heometrikang unit.

Mula sa eksplisitong anyo ng tensor ni Einstein, ang tensor ni Einstein ay isang hindi linyar na punsiyon ng metrikong tensor ngunit linyar sa ikalawang parsiyal na deribatibo ng metriko. Bilang simetrikong ikalawang ranggong tensor, ang mga ekwasyong field ni Einstein ay isang hanay ng 10 kwasilinear na ikalawang order na mga parsiyal diperensiyal na ekwasyon para sa metrikong tensor.

Ang mga indentidad ni Bianchi ay madali ring maihahayag sa tulong ng tensor ni Einstein:

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{G}^{\mu \nu }=0.$

Ang mga indentidad ni Bianchi ay automatikong sumisiguro sa konserbasyon ng tensor na stress-enerhiya sa mga kurbadong oras-espasyo:

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0.$

Ang heometrikong kahalagahan ng mga tensor ni Einstein ay binibigyang diin ng identidad na ito. Sa mga balangkas koordinado na rumirespeto sa kondisyong gauge

${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }{G}^{\mu \nu }=0$

ang eksaktong batas konserbasyon para sa densidad ng tensor na stress ay maaaring ihayag na:

${\partial }_{\mu }(\sqrt{g}{T}^{\mu \nu })=0$.

Ang tensor ni Einstein gumaganap ng papel ng pagbubukod sa mga balangkas(frames) na ito.