Ugat (matematika)

Sa matematika, ang ika-n na ugat ng bilang na x ay ang bilang na r na kung papalakasin nang n na beses ay magreresulta sa x.

Padron:Spaces$r^n=x$

Ipinagpapalagay rito na ang n, ang antas o lakas, ay isang positibong buumbilang. Isinusulat ito sa anyong $\sqrt[n]{x}=r$. Tinatawag ang x na radikando (mula Kastila radicando), samantalang antas naman ang n at r naman ang ugat.

Pasalita, ginagamit ang mga katagang "ika-n (na) ugat," "pang-n (na) ugat," o "ugat n." Pariugat naman ang tawag sa mga ugat na nasa ikalawang antas, samantalang taluugat naman ang tawag sa mga ugat na nasa ikatlong antas.

Tinatawag ang proseso ng pagkuha sa ugat bilang pag-uugat o radikasyon (mula Kastila radicacion).

Ginagamit ang mga ugat para matukoy ang radyo ng pagtatagpo (radius of convergence) ng isang serye ng lakas gamit ang subukang ugat. Tinatawag na mga ugat ng pagkakaisa ang mga ugat ng 1, na mahalaga sa iba't ibang disiplina sa matematika, kabilang na ang teorya ng bilang (number theory), teorya ng tumbasan (equation theory), at pagbabagong Fourier (Fourier transform).

Kahulugan at notasyon

Ang apat na ugat ng -1. Wala sa mga ito ang tunay.

Ang ugat ng bilang na x, kung saan isang positibong buumbilang ang n, ay kahit anong n na tunay o komplikadong bilang na r na, kung papalakasin nang n na beses, ay magreresulta sa x.

Padron:Spaces$r^n=x$

Dahil madalas gamitin, hindi na isinusulat ang n ng mga pariugat (antas 2): $\sqrt[]{x}$ imbes na $\sqrt[2]{x}$. Gayunpaman, isinusulat pa rin ito sa ilang pagkakataon na nangangailangan ng paglilinaw. Hindi na isinusulat ang ugat na nasa unang antas (n = 1), dahil $\sqrt[1]{x}=x$.

Palaging may iisang positibong ugat ang lahat ng mga positibong tunay na bilang. Tinatawag itong pangunahing ugat. Kung negatibo ang x, magkakaroon lamang ito ng iisang ugat na tunay kapag gansal (odd) ang n. Ang ugat sa antas na n ng isang negatibong bilang ay hindi isang tunay na bilang kapag pares (even) ang n.

Para naman sa mga pares na n, may negatibong ugat rin ang mga positibong bilang. Kapag gansal ang n, may tunay na negatibong ugat ang bawat negatibong bilang x. Halimbawa, may tunay na ikalimang ugat ang -2, $\sqrt[5]{-2}=-1.148698354\dots$, ngunit wala itong tunay na ikaanim na ugat.

May n na magkakaibang komplikadong bilang na ugat ang bawat x na bilang na hindi sero, mapa-tunay na bilang man ito o komplikado. Kung sakaling tunay ang x, kasama sa bilang rito ang kahit anong mga tunay na ugat. Ang kaisa-isang komplikadong ugat ng sero ay ang sarili niya, 0.

Ang ugat ng halos lahat ng bilang (lahat ng mga buumbilang maliban sa mga ika-n na lakas, at lahat ng mga tuwirang bilang maliban lang sa mga kosyente ng dalawang ika-n na lakas) ay di-tuwiran (irrational). Halimbawa:

Padron:Spaces$\sqrt{2}=1.414213562\dots$

Ang lahat ng mga ugat ng buumbilang ay bilang alhebraiko.

Tinatawag na surd o radikal ang isang ugat na walang sagot, lalo na yung mga gumagamit ng tandang radikal. Ang kahit anong mga ekspresyong may radikal, mapa-pariugat man ito, taluugat, o higit pa, ay tinatawag na mga ekspresyong radikal, at kung wala itong mga transendental na punsiyon o bilang, ay tinatawag na mga ekspresyong alhebraiko.

Galing kay al-Khwārizmī (bandang 825) ang salitang surd, na tinukoy ang mga tuwiran at di-tuwirang bilang na "naririnig" at "di-naririnig." Naging dahilan ito upang maisalin ang salitang Arabong "Padron:Rtl-lang" (asamm, "bingi") para sa di-tuwirang bilang sa Latin na "surdus" ("bingi" o "pipi"). Ginamit nina Gerard ng Cremona (bandang 1150), Fibonacci (1202), at Robert Recorde (1551) ito para tukuyin ang mga di-tuwirang ugat na walang sagot.

Pariugat

Ang grap ng Padron:Math.

Ang pariugat ng isang bilang na x ay ang bilang na r na, kung papariramihin (pagkuha sa square), ay magreresulta sa x.

Padron:Spaces$r^2=x$

Ang bawat positibong tunay na bilang ay may dalawang pariugat, isang positibo at isang negatibo. Halimbawa, ang pariugat ng 25 ay parehong 5 at -5. Ang positibong pariugat ay kilala ring pangunahing pariugat, at isinusulat sa loob ng tandang radikal:

Padron:Spaces$\sqrt{25}=5$

Dahil magreresulta ang pagpaparirami sa kahit anong tunay na bilang sa positibong tunay na bilang, walang tunay na pariugat ang mga negatibong bilang. Gayunpaman, may dalawang guni-guning (imaginary) pariugat para sa bawat negatibong tunay na bilang. Halimbawa, ang pariugat ng -25 ay 5i at -5i, kung saan ang i ay isang bilang na, kapag pinariramihin, ay magreresulta sa -1.

Taluugat

Ang grap ng Padron:Math.

Ang taluugat ng bilang na x ay ang bilang na r na, kung tataluramihin (pagkuha sa cube), ay magreresulta sa x.

Padron:Spaces$r^3=x$

May iisang tunay na taluugat ang bawat tunay na bilang na x, isinusulat bilang $\sqrt[3]{x}$. Halimbawa:

Padron:Spaces$\sqrt[3]{8}=2$ at $\sqrt[3]{-8}=-2$

May karagdagang dalawang komplikadong taluugat ang bawat isang tunay na bilang.