Tunay na bilang

Ang isang real number o tunay na bilang ay anumang numerong kabilang sa katipunán ng mga real number, ang R na tumutukoy sa lahat ng numerong maaaring pabigyang-kahulugan gamit ang mga operasyon sa alhebra at hindi lumalabag sa anumang aksiyoma o teorema. Saklaw ng pakahulugan ng mga numerong real ang mga bilang na rasyonal, di-rasyonal at transendental.

Mga katangian

Ayon sa matematikong si George Cantor, ang mga real number ay walang hanggan at di mabilang (uncountably infinite). Ang $ℝ$ ay itinuturing na sarado sa ilalim ng mga pundamental na operasyong matematikal maliban sa dibisyon.

Ang ilang mga pangunahing katangian ng $ℝ$ ay nakalista sa ibaba.

$\mathrm{\forall }a,b,c\in ℝ$

Pagsasara

$a+b\in ℝ$
$a-b\in ℝ$
$ab\in ℝ$
$\frac{a}{b}\in ℝ,\mathrm{\forall }b\ne 0$

Identidad

$a+0=a$
$a\times 1=a$

Pagbabaligtad

Sa adisyon,

$a+(-a)=0$
kung saan ang $-a$ ang tinuturing na elemento ng pagababaligtad.

Sa multiplikasyon,
$a\times \frac{1}{a}=1$
kung saan ang $\frac{1}{a}\text{o}{a}^{-1}$ ang itinuturing na baligtad na multiplikatibo o reciprocal ng $a$.

Pagpapalit

$a+b=b+a$
$ab=ba$

Asosasyon

$(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c$
$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)=abc$

Distribusyon ng Multiplikasyon sa Adisyon

$a\times (b+c)=ab+ac$

Eksponensasyon

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

Iba Pang Katangian

Ang $ℝ$ ay masasabing nasa unang dimensiyon. Maaari itong palawakin upang masaklaw ang dimensiyong $n$ sa pamamagitan ng eksponensasyong ${ℝ}^n$. Samakatuwid ang ${ℝ}^2$ ay tumutukoy sa katipunán ng mga real numbers sa dalawang dimensiyon, ang ${ℝ}^3$ sa tatlo, ad infinitum.
Ang bawat bilang sa ${ℝ}^n$ ay binubuo ng $n$ na elemento at isinusulat bilang $(x_1,x_2,x_3,...x_n)$. Anumang bilang na may elementong kulang o higit sa n ay walang kahulugan sa ${ℝ}^n$.

Mga karagdagang halimbawa:

• Ang bawat elemento ng ${ℝ}^2$ ay nasa anyong $(x_1,x_2)$. Sa katipunáng ito, ang $(2,0)$ ay iba sa $(0,2)$ at ang mga bilang na $2\text{at}(2,2,2)$ ay walang kahulugan.

Mga Kaganapan sa R

Ang kaganapang $f$ ay nasa $ℝ$ kung $f:ℝ\mapsto ℝ$. Karagdagan pa, $(x,f(x))\in {ℝ}^2$. Hayaan nating ang Padron:Mvar ay maging katipunang arbitraryo at hayaan natimg ang $ℱ(X,ℝ)$ denote the set of all functions from Padron:Mvar to real numbers Padron:Math. Because Padron:Math is a field, $ℱ(X,ℝ)$ is a vector space and a commutative algebra (structure) over reals:

• $f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$ – vector addition
• $\mathrm{𝟎}:x\mapsto 0$ – additive identity
• $cf:x\mapsto cf(x),c\in ℝ$ – scalar multiplication
• $fg:x\mapsto f(x)g(x)$ – pointwise multiplication

Also, since Padron:Math is an ordered set, there is a partial order on $ℱ(X,ℝ)$:

• $f\le g⟺\mathrm{\forall }x:f(x)\le g(x)$.

$ℱ(X,ℝ)$ is a partially ordered ring.