Pormula ni Bretschneider

Isang kuwadrilateral.

Sa heometriya, ang pormula ni Bretschneider ay isang ekspresyong matematikal na ginagamit upang makuha ang kabuuang sukat ng pangkalahatang kuwadrilateral:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)}$

$=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{2}abcd[1+\cos (\alpha +\gamma )]}.$

Dito, ang Padron:Math Padron:Math Padron:Math Padron:Math ay ang mga gilid ng kuwadrilateral, ang Padron:Math ay ang semi-perimetro, at ang Padron:Math at Padron:Math ay ang dalawang mga anggulong magkasalungat. Ang pormula ni Bretschneider ay maaaring gamitin sa anumang kuwadrilateral, maging ito ay sikliko o hindi.

Ang matematikong Aleman na si Carl Anton Bretschneider ang unang nakatuklas sa pormulang ito noong 1842. Ang pormula ay nakuha rin sa parehong taon ng dalubhasang Aleman na si Karl Georg Christian von Staudt .

Patunay

Itukoy ang sukat ng kuwadrilateral bilang Padron:Math. Ang pormula ay magiging

$\begin{array}{cc}K& =\text{area of }\mathrm{△}ADB+\text{area of }\mathrm{△}BDC\\ & =\frac{ad\sin \alpha }{2}+\frac{bc\sin \gamma }{2}.\end{array}$

Samakatuwid, mabubuo natin ang dalawang tumbasan na

$2K=(ad)\sin \alpha +(bc)\sin \gamma .$

$4K^2=(ad{)}^2{\sin }^2\alpha +(bc{)}^2{\sin }^2\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .$

Ang batas ng mga cosine ay nagpapahiwatig na

$a^2+d^2-2ad\cos \alpha =b^2+c^2-2bc\cos \gamma ,$

sapagkat ang magkabilang gilid ay magkatumbas sa magiging kuwadrado ng haba ng dayagonal Padron:Math . Maaari itong isulat muli bilang

$\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2}{4}=(ad{)}^2{\cos }^2\alpha +(bc{)}^2{\cos }^2\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .$

Kung ipagsasama ito sa pormulang nasa itaas para sa Padron:Math, magiging

$\begin{array}{cc}4K^2+\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2}{4}& =(ad{)}^2+(bc{)}^2-2abcd\cos (\alpha +\gamma )\\ & =(ad+bc{)}^2-2abcd-2abcd\cos (\alpha +\gamma )\\ & =(ad+bc{)}^2-2abcd(\cos (\alpha +\gamma )+1)\\ & =(ad+bc{)}^2-4abcd\left(\frac{\cos (\alpha +\gamma )+1}{2}\right)\\ & =(ad+bc{)}^2-4abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right).\end{array}$

Tandaan: ${\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}=\frac{1+\cos (\alpha +\gamma )}{2}$ (isang trigonometrikong pagkakakilanlan na totoo para sa lahat na $\frac{\alpha +\gamma }{2}$ )

Kung susundin ang parehong mga hakbang mula sa pormula ni Brahmagupta, maaari itong isulat bilang

$16K^2=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right).$

Sa pagsasama ng semi-perimetrong

$s=\frac{a+b+c+d}{2},$

ang pormulang nasa itaas ay magiging

$16K^2=16(s-d)(s-c)(s-b)(s-a)-16abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)$

$K^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)$

at ang pormula ni Bretschneider ay magiging sang-ayon pagkatapos makuha ang ugat ng kuwadrado ng magkabilang gilid:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)}$

Mga ugnayan

Ang pormula ni Bretschneider ay isang paglalahat ng pormula ni Brahmagupta para sa pagkuha ng sukat ng isang siklikong kuwadrilateral, na sa pangkalahatan ay naglalahat din sa pormula ni Heron para sa pagkuha ng sukat ng isang tatsulok .

Ang trigonometrikong pagsasaayos ng pormula ni Bretschneider para sa mga kuwadrilateral na hindi sikliko ay maaaring muling isulat na di-trigonometriko sa pamamagitan ng mga gilid at mga dayagonal na Padron:Math at Padron:Math upang makuha ang tumbasang

$\begin{array}{cc}K& =\frac{1}{4}\sqrt{4e^2{f}^2-(b^2+d^2-a^2-c^2{)}^2}\\ & =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}.\end{array}$

Tingnan din

• Pormula ni Heron
• Pormula ni Brahmagupta

Mga sanggunian at karagdagang pagbasa

•  Padron:Cite journal
• CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 ( online na kopya, Aleman )
• F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 ( online na kopya, Aleman )

Mga kawingang panlabas

• Padron:MathWorld
• Ang pormula ni Bretschneider sa proofwiki.org