Deribatibo ng mga punsiyong trigonometriko

Ang Deribatibo ng mga punsiyong trigonometriko ay ginagamit sa paghanap ng deribatibo ng isang punsiyon na trigonometriko.

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$	$({\sin }^{-1}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$	$({\cos }^{-1}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$	$({\tan }^{-1}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$	$({\sec }^{-1}x{)}^{\prime }=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$	$({\csc }^{-1}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}=-(1+{\cot }^{2}x)$	$({\cot }^{-1}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

Deribasyon ng mga trigonometrikong punsiyon gamit ang diperensiyang kosiyente

Padron:Main Ang mga deribatibo sa taas ay matatamo sa pamamagitan ng pamamaraan ng diperentasyon na "diperensiyang kosiyente"(difference quotient) Ang pormula ng diperensiyang kosiyente ay:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$,

Ang deribatibo ng cos x ay matatamo sa pamamagitan ng sumusunod:

$f(x)=\sin x$
$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$	Depinisyon ng deribatibo
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)\sin (h)+\cos (h)\sin (x)-\sin (x)}{h}$	identidad ng trigonometriya
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)\sin (h)+(\cos (h)-1)\sin (x)}{h}$	ipaktor
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)\sin (h)}{h}$ $+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(\cos (h)-1)\sin (x)}{h}$	ihiwalay ang mga solusyon
$=\cos x\times 1+\sin x\times 0$	ilapat ang hangganan
$=\cos x$	resultang deribatibo

Ang deribatibo ng cos x ay mahahango sa pamamagitan ng sumusunod:

$f(x)=\cos x$
$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}$	Depinisyon ng deribatibo
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)\cos (h)-\sin (h)\sin (x)-\cos (x)}{h}$	identidad na trigonometriko
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)(\cos (h)-1)-\sin (x)\sin (h)}{h}$	ipaktor
$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)(\cos (h)-1)}{h}$ $-\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)\sin (h)}{h}$	ihiwalay ang mga termino
$=\cos x\times 0-\sin x\times 1$	ilapat ang hangganan
$=-\sin x$	resultang deribatibo

Ang deribatibo ng sin x at cosine x ay:

Derivatibo ng Sine at Cosine $\frac{d}{dx}\sin (x)=\cos (x)$ $\frac{d}{dx}\cos (x)=-\sin (x)$

Ang deribatibo ng tangent x ay mahahango sa pamamagitan ng sumusunod:

$\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ Ang tangent ay kosiyente ng sin x at cos x. Kung gagamitinng ang batas kosiyente:

$\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{{\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)}{{\cos }^2(x)}$

Kung gagamitin ang indentidad na trigonometrikong: ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$, ang ekspresyon ay mapapasimple:

$\frac{{\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)}{{\cos }^2(x)}$	$=\frac{1}{{\cos }^2(x)}$
	$={\sec }^2(x)$

Derivatibo ng Tangent $\frac{d}{dx}\tan (x)={\sec }^2(x)$

Para mahahango ang deribatibo ng secant, gagamitin uli natin ang batas kosiyente:

$\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}$

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\sec (x)& =\frac{d}{dx}\frac{1}{\cos (x)}\\ & =\frac{\cos (x)\frac{d1}{dx}-1\frac{d\cos (x)}{dx}}{\cos (x{)}^2}\\ & =\frac{\cos (x)0-1(-\sin (x))}{\cos (x{)}^2}\end{array}$

Ang resulta:

$\frac{d}{dx}\sec (x)=\frac{\sin (x)}{{\cos }^2(x)}$

Kung pasisimplehin:

Derivatibo ng Secant $\frac{d}{dx}\sec (x)=\sec (x)\tan (x)$

Kung gagamitin ang parehong pamamaraan sa cosecant:

$\csc (x)=\frac{1}{\sin (x)}$

Ang resulta ay:

Derivatibo ng Cosecant $\frac{d}{dx}\csc (x)=-\csc (x)\cot (x)$

Kung gagamitin ang parehong pamamaraan sa cotangent na ginamit sa tangent, ang resulta ay:

Derivatibo ng Cotangent $\frac{d}{dx}\cot (x)=-{\csc }^2(x)$

Punsiyon ng punsiyon

Kung ang trigonometrikong punsiyon ay inilalapat sa isa pang punsiyon, o sa ibang salita ay ang isang punsiyon ay nasa loob ng isang trigonometrikong punsiyon, ang deribatibo ay mahahanap gamit ang patakarang kadena.