Deribatibong eksponensiyal

Ang Deribatibong eksponensiyal (Ingles:exponential derivative) ay ginagamit sa paghanap ng deribatibo ng isang punsiyon na eksponensiyal.

Deribasyon ng deribatibo ng eksponensiyal

Padron:Main Ang deribatibo ng punsiyong nasa anyong $e^x$ ay mahahango gamit ang "diperensiyang kosiyente"

Ang pormula ng diperensiyang kosiyente ay:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$,

Ang deribatibo ng $e^x$ ay mahahango sa pamamagitan ng sumusunod:

$\frac{d}{dx}{e}^x=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x+h}-e^x}{h}$

Ngayon ilapat ang alhebra sa kapangyarihan(powers), partikular na ang a^{b + c} = a^b a^c:

$\frac{d}{dx}{e}^x=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^x{e}^h-e^x}{h}$

Dahil sa ang e^x ay hindi dumidepende sa h, ito ay konstante habang ang h ay papalapit sa 0. Maaari na nating gamitin ang mga patakaran ng hangganan upang ilipat ito sa labas na nagreresulta sa:

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}$

Ang hangganan ay maaaring kwentahin sa pamamagitan ng mga tekniko gaya ng Patakarang L'Hopital. Ating makikita na ang:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}=1$

Kaya napatunayan natin ang patakaran na:

Deribatibo ng punsiyong eksponensiyal $\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$

Dahil sa nahango na ang isang spesipikong kaso, ating palawigin sa kasong pangkalahatan. Kung ipagpalagay na ang a ay isang positibong real na konstante, nais nating kwentahin ang:

$\frac{d}{dx}{a}^x$

Ang isa sa mga paraan sa matematika ay hatiin ang isang problema sa anyo na ating malulutas. Dahil sa natukoy na natin ang deribatibo ng e^x, ating tatangkain na baguhin ang a^x sa anyong ito. Kung gagamitin ang e^ln(c) = c at ang ln(a^b) = b · ln(a), ang resulta:

$a^x=e^{x\cdot \ln (a)}$

Ngayon, ilapat ang patakarang kadena:

$\frac{d}{dx}{e}^{x\cdot \ln (a)}=\frac{d}{dx}[x\cdot \ln (a)]e^{x\cdot \ln (a)}=\ln (a)a^x$

Deribatibo ng punsiyong ekpsonensiyal $\frac{d}{dx}{a}^x=\ln \left(a\right)a^x$