Grupo (matematika)

Padron:Confuse Sa matematika, ang grupo ay isang pangkat (set) na mayroong isang operasyon na pinagsasama-sama ang kahit anumang dalawang elemento upang makabuo ng isang ikatlong elemento habang naikokonekta ito, gayon din, ang pagkakaroon nito ng elementong identidad at elementong kabaligtaran. Hinahawakan ng tatlong kondisyon na ito, tinatatawag na aksiyomang grupo, ang para sa mga sistema ng bilang at marami pa ibang kayariang pangmatematika. Halimbawa, binubuo ng isang grupo ang mga buumbilang kasama ang adisyong operasyon. Bagaman, nakahiwalay ang pormulasyon ng mga aksiyoma mula sa konkretong kalikasan ng grupo at operasyon nito. Pinapahintulot nitong hawakan ng isa ang mga entidad ng mga ibang-iba pangmatematikang pinagmulan sa isang sunud-sunurang paraan, habang ipinipanatili ang mahalagang estruktural na aspeto ng maraming bagay sa abstraktong alhebra at lampas pa nito. Ang pagkakaroon ng mga grupo sa lahat ng dako-pareho sa loob at labas ng matematika-ay ginagawa silang isang sentral na nag-oorginisang prinsipyo ng kontemporaryong matematika.Padron:SfnPadron:Sfn

Katuringan

Ititnuturing ang dalawahang sakilos $*$ sa isang tangkas $G$ bilang isang grupo kung at kung lamang:

• Sarado o pinid ang $G$;
• Ugnayin ang sakilos, alalaong baga’y $(a*b)*k=a*(b*k)$ sa lahat ng $a,b,k\in G$;
• Sa lahat ng $a\in G$, may iisang mulhagi o elementong tinatawag na kasiyangaan o identidad na $e\in G$, kung saan

$a*e=e*a=a$; at

• Sa lahat ng $a\in G$, may iisang kabaligtaran o imberso na $a^{-1}\in G$, kung saan $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$.

Halimbawa

Ang mga buumbilang

Isa sa mas pamilyar na grupo ay ang pangkat ng mga buumbilang $$\mathbb{Z}=\{\dots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\dots \}$$ kasama ang adisyon.Padron:Sfn Para sa kahit anumang buumbilang na $a$ at $b$, isang buumbilang din ang kabuuan ng $a+b$; sinasabi ng pagsasarang katangian na ito na ang $+$ ay isang binaryong operasyon sa $\mathbb{Z}$. Nagsisilbi ang sumusunod na katangian ng buumbilang bilang isang modelo para sa aksiyomang grupo sa kahulugan sa ibaba.

• Para sa lahat ng buumbilang na $a$, $b$ and $c$, ang isa ay may $(a+b)+c=a+(b+c)$. Sinasabi sa mga salita, ang pagdagdag ng $a$ sa $b$ muna, at pagkatapos pagdagdag ng kinalabasan sa $c$ na nagbibigay ng parehong huling resulta bilang pagdaragdag ng $a$ sa kabuuan ng $b$ at $c$. Kilala ang katangian na ito bilang pagkakaugnay.
• Kung ang $a$ ay kahit anumang buumbilang, sa gayon, ang $0+a=a$ at $a+0=a$. Tinatawag ang sero bilang elementong identidad ng adisyon dahil ang pagdaragdag ng kahit anumang buumbilang ay nagbabalik parehong buumbilang.
• Para sa bawat buumbilang na $a$, mayroong isang buumbilang na $b$ na sa ganitong paraan ang $a+b=0$ at $b+a=0$. Tinatawag ang buumbilang na $b$ bilang elementong kabaligtaran ng buumbilang na $a$ at pinapahiwatig bilang $-a$.